72. Serbatoio di idrogeno

[CaptainJohnCabot]

Riprovo

Per disperazione ho considerato, in maniera un po' grossolana, dato che non è sempre vero, che la 'tensione superficiale', chiamiamola così , è , ovvero direttamente proporzionale alla densità del contenitore + idrogeno. Da qui con un po' di passaggi arrivo a due relazioni sulla pressione interna iniziale :
e , con densità dell'aria e pressione atmosferica.
Ora è chiaro che le due relazioni sono incompatibili quindi il palloncino non potrà sollevare il contenitore.

Se quello che ho scritto può avere senso, anche se è sbagliato, posso postare il procedimento, altrimenti mi scuso in anticipo per gli errori sciocchi

Per Federico
Avevo già provato ad utilizzare la costante per calcolare la tensione del materiale ma non sono riuscito a trovare il metodo risolutivo che hai cercato di suggerirci. Provare a legare la pressione massima a qualche altra grandezza (come alle proprietà del gas nel mio precedente tentativo o alla densità in questo) sono gli unici modi (oltre che atti di pura disperazione ) in cui sono riuscito ad eliminare le incognite e ad ottenere qualcosa di accettabile.

[FedericoC.]

Ci siamo, l'esito è corretto anche se le disequazioni cui sei arrivato sono completamente diverse dalle mie. Penso che questo sia dovuto al fatto che tu abbia posto la tensione direttamente proporzionale alla massa volumica, cosa che come hai detto non è sempre vera, mentre io l'ho posta direttamente proporzionale all'area della sezione del serbatoio diviso in due emisferi. Le grandezze che ci interessano comunque sono giuste: la massa volumica e il coefficiente . Posta il procedimento e vediamo se tutto torna

[CaptainJohnCabot]

Se il passaggio avviene a temperatura T costante si ha:

; con:

volume del contenitore;
volume del palloncino (rispetto al quale quello del contenitore è trascurabile);
dove è la pressione atmosferica, dato che il palloncino è elastico.

Si ha quindi:



Ora si pone la condizione affinché avvenga il sollevamento ovvero:



Da cui si ottiene con la relazione precedente:



Si lavora ora su . Pongo:

la massima tensione che il materiale è in grado di opporre prima di rompersi, allora detta la massima pressione sopportabile si ha:



Considero ora , si ha:



In questo passaggio è scappato l'errore ieri (mi sono dimenticato un ). Quindi ora non esce impossibile ma sostituendo k l'unico valore possibile per la pressione risulta essere . Ora nell'approssimazione di diretta proporzionalità con la densità che abbiamo fatto il valore di esce molto superiori alle pressioni sopportabili dai detti materiali (le tabelle si trovano su internet), basta evitare di prendere fibre di carbonio o diamanti

Provo ora a generalizzare utilizzando il procedimento di Federico. Si ha sempre:



A quanto ho capito bisogna porre , si ha quindi:



Sostituendo si ha nuovamente . Ponendo si ha:



Le due disequazioni sono incompatibili solo se , che è accettabile nell'approssimazione del contenitore 'piccolo'. Alternativamente si può lavorare con , si ha:



Queste due disequazioni sono incompatibili e quindi non è possibile che il palloncino sollevi il contenitore.

Questa volta spero di aver preso almeno un procedimento corretto, dato che praticamente ne ho provati 3

[FedericoC.]

Per quanto riguarda la tua soluzione non mi convince un punto

la massima tensione che il materiale è in grado di opporre prima di rompersi, allora detta P la massima pressione sopportabile si ha:

Non vorrei dire una cavolata, ma la pressione non credo tu possa definirla in questo modo in quanto non è esercitata da una forza su una superficie, la tensione è interna al materiale di cui è costituito il serbatoio.

Per quanto riguarda la mia è leggermente diversa. Grazie al fatto che la temperatura rimane costante ho calcolato il volume finale in funzione della pressione iniziale, usandolo per la condizione di sollevamento. La forza di tensione non può essere data da perchè la sezione non è un cerchio bensì una corona circolare, ho introdotto dunque anche lo spessore del serbatoio. La tensione deve dunque uguagliare la forza dovuta alla pressione interna nella situazione limite (primo hint), ottengo così la seconda condizione.

[CaptainJohnCabot]

Per quanto riguarda la pressione più che la tensione interna ho considerato la forza a cui questa si oppone ovvero quella delle molecole di idrogeno che 'premono' sulle pareti del contenitore, quindi non credo sia troppo sbagliato quel passaggio, poi mi appello comunque all'immensa saggezza del forum per un verdetto finale

La forza di tensione non può essere data da perchè la sezione non è un cerchio bensì una corona circolare, ho introdotto dunque anche lo spessore del serbatoio

Per evitare di introdurre troppe variabili io quello spessore l'avevo trascurato, non credevo fosse molto importante ma se influisce sul risultato lo reintegro subito

[FedericoC.]

Nel caso tu considerassi direttamente la forza dovuta alla pressione comunque dovresti dividere per perché quella sarebbe la forza esercitata su ciascun emisfero. Quindi facendo i calcoli ti risulterebbe se non ho sbagliato conti. La pressione sarebbe notevolmente più bassa, ma credo sia comunque corretto dato che il coefficiente in questa dimostrazione ha dimensioni che non sono propriamente quelle di un coefficiente di tensione. Quindi non avremmo modo di trovarli su internet (o perlomeno io non ci sono riuscito)

[CaptainJohnCabot]

Io ho cercato 'resistenza meccanica materiali' e ho trovato una tabella con le pressioni critiche, e non i coefficienti di tensione, per diversi materiali, in effetti sarebbe difficile trovare su internet un parametro che abbiamo introdotto noi

Quindi facendo i calcoli ti risulterebbe se non ho sbagliato conti

Infatti anche se nella seconda parte :

Alternativamente si può lavorare con , si ha:



Queste due disequazioni sono incompatibili e quindi non è possibile che il palloncino sollevi il contenitore.

Per quanto riguarda l'approssimazione mi sembra che non ho diviso proprio in emisferi e che ho direttamente considerato la forza come radiale e costante in tutte le direzioni.

C'è ancora qualcosa di impreciso? Cosa dovrei correggere? Dovrei forse introdurre o può andar bene così?

[FedericoC.]

Scusa se ti sono sembrato pignolo era solo per capire bene il tuo procedimento, dato che era piuttosto diverso dal mio e ha un'interpretazione leggermente diversa. Ad ogni modo mi sembra che funzioni quindi la staffetta è tua

Scrivo anche il risultato che si ottiene con il mio ragionamento se ha qualcuno interessasse perchè è carino
Facendo i calcoli si ha:

Il rapporto tra il coefficiente e la massa volumica deve essere maggiore di una costante, tuttavia non esiste una materiale allo stesso tempo tanto resistente e tanto leggero da rispettare la condizione.

Riprendendo solo la cosa dello spessore non credo si possa trascurare perché quando nella condizione per il sollevamento si sostituisce a il volume non è quello di una sfera bensì di un guscio sferico. Ad ogni modo è solo questione di un calcolo.

[CaptainJohnCabot]

Per quanto riguarda il sollevamento infatti proprio per evitare di considerare il guscio sferico ho preso come la densità del materiale+idrogeno, quindi in caso dovrei cambiare solamente nella formula della forza, caso in cui sembrava più trascurabile (effettivamente rimane questione di un calcolo ).
Prima di andare avanti vedo di correggere appena ho un po' di tempo

[CaptainJohnCabot]

Allora ho utilizzato un po' di approssimazioni e l'ho fatto abbastanza in fretta dato che in questo periodo non ho moltissimo tempo
Il risultato non esce pulito come prima, anche se sempre accettabile, ma alla fine il procedimento da seguire è lo stesso, e anche le disuguaglianze sono formalmente simili alle precedenti. Inoltre ci si potrebbe ricondurre, con un sistema di disuguaglianze, anche alla dimostrazione del mio precedente messaggio (infatti se , dato che stiamo parlando di una forza massima, se l'impossibilità vale per il valore maggiore,come si è dimostrato, allora vale anche per il minore). Purtroppo non credo di avere il tempo di correggere tutta la mia suddetta dimostrazione, forse ci proverò in futuro, quindi spero che per ora vi possiate accontentare di questo
Se a Federico sta bene però io posterei ugualmente il prossimo problema della staffetta così da non bloccarla per troppo tempo (anche perché nei prossimi giorni non potrò appunto dedicarmi al forum )