71. Achille e la Tartaruga

CaptainJohnCabot · Messaggio da **CaptainJohnCabot** » 31 mag 2016, 21:01

Per Federico
A me sembra tutto corretto Federico, direi che puoi postare il problema 72.
Questo problema invece è un adattamento di 'preda e predatore' dal libro 'Un problema al giorno' del professor Cella, come aveva intuito Flaffo

(anche le farfalle kamikaze vengono da lì). Se non conosci il testo lo trovi su un vecchio post del forum, contiene moltissimi problemi interessanti

(anche se con moltissimi integrali

).

Riporto ora la soluzione che è suggerita dal libro, premettendo che io ho seguito un procedimento molto simile a quello di Federico e che non mi sarebbe mai venuto in mente di fare nulla di tutto ciò

Siano $R_A$ e $R_T$ le posizioni di Achille e della tartaruga su un piano. Si considera ora la distanza fra i due protagonisti del problema, detta $l$ , e la si eleva al quadrato, in tal modo si eliminano anche le complicazioni del modulo:

$\displaystyle l^2=|\vec{R_T}-\vec{R_A}|^2$

La sua derivata rispetto al tempo è allora:

$\displaystyle \dfrac{dl^2}{dt}=2\bigg(\vec{R_T}-\vec{R_A}\bigg)\bigg(\dfrac{\vec{R_T}}{dt}-\dfrac{\vec{R_A}}{dt}\bigg)$

Ma sappiamo che la velocità di Achille 'punta' verso la tartaruga, da cui:

$\displaystyle \vec{v_A}=\dfrac{d\vec{R_A}}{dt}=v_A\bigg(\dfrac{\vec{R_T}-\vec{R_A}}{\vec{R_T}-\vec{R_A}}\bigg)$

Sostituendo:

$\displaystyle \dfrac{dl^2}{dt}=2\bigg(\vec{R_T}-\vec{R_A}\bigg)\dfrac{d\vec{R_T}}{dt}-2v_A\bigg(\vec{R_T}-\vec{R_A}\bigg)$

Detto $\alpha$ l'angolo tra $\vec{v_T}$ e $(\vec{R_T}-\vec{R_A})$ si ha inoltre:

$\displaystyle \dfrac{dl^2}{dt}=2v_T|\vec{R_T}-\vec{R_A}|cos(\alpha)-2v_A\bigg(\vec{R_T}-\vec{R_A}\bigg)$

Che può essere scritto nella forma:

$\displaystyle \dfrac{dl}{dt} \leq v_T-v_A$

Da cui, detta $l_0$ la distanza iniziale:

$\displaystyle l \leq l_0+(v_T-v_A)$

Quindi la tartaruga sarà raggiunta in un tempo (finito):

$\displaystyle t \leq \dfrac{l_0}{v_A-v_T}$

FedericoC. · Messaggio da **FedericoC.** » 31 mag 2016, 21:05

Sicuramente soluzione più elegante della mia, anche se molto meno intuitiva, almeno per me

Appena riesco metto il 72!

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