Nastro che si srotola

[Jeff18]

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo problema? Non riesco a capire come considerare il fatto che la massa cambia via via che il nastro si srotola.

Un nastro flessibile di lunghezza è avvolto strettamente. Se esso viene lasciato libero di srotolarsi mentre rotola lungo un piano inclinato che forma un angolo con l'orizzontale, con l'estremo superiore inchiodato (fig. 12-31), dimostrare che il nastro si srotola nel tempo

[nace26]

A me è venuto , possibile?

[Jeff18]

Non so. potrebbe essere, allego la scansione del testo. Grazie per l'aiuto.

[nace26]

Mmm mi viene da pensare ad un errore di battitura del testo. Intanto, il risultato dovrebbe dipendere da che è il campo lungo il piano; dove possano sbucare altri seni ed altri angoli non mi viene in mente, perché il problema dovrebbe essere equivalente a quello sul piano orizzontale con accelerazione . E poi a intuito mi verrebbe da dire che aumentando l'inclinazione il nastro dovrebbe srotolarsi più velocemente, mentre così avverrebbe il contrario... sono abbastanza convinto che il tuo libro abbia dimenticato mezzo centimetro di radice quadrata

[rocco]

Non ho tempo per affrontare il bel problemino causa impegni scolastici ma il risultato del testo è improbabile poiché il tempo sarebbe proporzionale al seno dell'inclinazione cioè più è inclinato il piano e più tempo ci mette?! Più verosimile il risultato di Nace.

[Flaffo]

Sì, anche perché per
deve essere che . Quindi dovrebbe stare al denominatore.
In ogni caso, nace26, potresti postare il procedimento?

[nace26]

Certo

Intanto mi metto nel riferimento del piano; qui vedremo il nostro rotolo di nastro interessato da un'accelerazione di modulo e diretta diciamo nel verso positivo, e da una forza diretta nel verso negativo data dal fatto che la coda del nastro è inchiodata. Queste due forze combinate danno un'accelerazione che deve essere in modulo

.

La forza darà anche un momento di modulo dove è il raggio del rotolo, il suo momento d'inerzia e la sua accelerazione angolare.

Infine, per il vincolo del chiodo, il moto sarà di puro rotolamento; ovvero il punto di contatto tra il rotolo e la superficie deve essere in ogni istante fermo; siccome all'inizio era fermo, questo succede se l'accelerazione in quel punto è sempre nulla. Nel punto di contatto si sovrappongono un'accelerazione diretta nel verso positivo e la risultante tangenziale dell'accelerazione angolare, che è diretta nel verso negativo e ha modulo . Pertanto deve essere



Mettendo assieme le tre equazioni che ho scritto, si trova il modulo di z come



Ricordando che il momento d'inerzia di un cilindro (cioè del nostro rotolo) vale , si trova

, che, come ci si poteva aspettare, è costante e non dipende dalla massa istantanea del rotolo.

Se è lo spazio percorso dal punto di contatto tra rotolo e piano, l'equazione oraria sarà . Chiaramente il coso si srotola quando , da cui

[Ciccio98]

Anche a me viene il seno sia all'interno della radice sia come denominatore. Si può trascurare il fatto che il raggio diminuisce mentre il nastro si srotola.

[Ciccio98]

Riflettendoci ancora meglio... si poteva risolvere anche senza l'equazione della conservazione dell'energia. Si conosce l'accelerazione del corpo. Si conosce l'accelerazione, lo spazio percorso, l'incognita è il tempo. Così facendo si giunge al medesimo risultato

[Jeff18]

Grazie a tutti per l'aiuto.