oscillazioni equivalenti

[andrea96]

Non disponiamo di un metro.
Supponiamo di avere un corpo rigido di cui una dimensione è trascurabile (in pratica è piatto) e di fissarlo in un punto così che oscilla con un periodo attorno alla posizione di equilibrio stabile per piccoli angoli. Supponiamo poi di trovare un altro punto e pure essendo a una distanza dal centro di massa diversa dal punto troviamo che il periodo di oscillazione attorno all'equilibrio è esattamente uguale a prima.
Ora costruiamo un pendolo semplice la cui lunghezza è la somma delle distanze dei punti P e Q dal centro di massa. Quanto vale il periodo di oscillazione del pendolo?

[Flaffo]

Provo a dare la mia soluzione


Consideriamo un oggetto rigido fissato in un punto O. Quando lo spostiamo leggermente dalla sua posizione di equilibrio, su di esso agisce una forza di richiamo (agente sul centro di massa) dovuta alla forza peso. Il momento creato dalla forza peso rispetto ad un asse passante per O è . Per piccole oscillazioni possiamo usare l'approssimazione . Essendo , con I momento di inerzia e accelerazione angolare, possiamo scrivere:
da cui:


Come se non fosse già ovvio, riconosciamo un moto armonico, dove:

Perciò:

Allora per P:


Per Q:



Ma, dato che T_Q=T_P:



Per il Parallel-Axis Theorem(di cui non ricordo il nome in italiano ) il momento di inerzia ad una distanza R dal centro di massa è dato da:


La precedente relazione si può quindi scrivere:

Che porta a:


Sostituendo in T_P e in T_Q otteniamo:



Per il pendolo semplice di lunghezza vediamo che, ugualmente:


In conclusione, il periodo del pendolo semplice è uguale al periodo del corpo rigido fissato in P o in Q.

Spero sia tutto giusto

[andrea96]

Bravo tutto giusto
P.S. Ho cercato in internet e pare che il nome italiano di quel teorema sia "teorema degli paralleli"

[Flaffo]

Capito
Ma il problema te lo sei inventato?

[andrea96]

no lo ho leggermente modificato