, ma la gara di secondo livello si avvicina quindi spero che qualcuno si faccia avanti per questo problema (forse noto a qualcuno) perché secondo me è interessante 
Un missile viene sparato dal polo nord verso un punto di latitudine
Missile dal polo
Missile dal polo
Purtroppo il forum sta diventando un po' inattivo , ma la gara di secondo livello si avvicina quindi spero che qualcuno si faccia avanti per questo problema (forse noto a qualcuno) perché secondo me è interessante
Un missile viene sparato dal polo nord verso un punto di latitudine
. Il missile non ha alcuna propulsione, quindi dopo avergli impresso una velocità iniziale, esso si muove per inerzia. Trovare 
l'angolo rispetto l'orizzonte a cui deve essere sparato il missile affinché la velocità iniziale sia minima. Gli effetti dell'atmosfera sono trascurabili.
, ma la gara di secondo livello si avvicina quindi spero che qualcuno si faccia avanti per questo problema (forse noto a qualcuno) perché secondo me è interessante Un missile viene sparato dal polo nord verso un punto di latitudine
Re: Missile dal polo
Secondo me la traiettoria del missile fra il polo N e il bersaglio B a latitudine fi deve essere ellittica con il centro della Terra come fuoco più lontano in modo che il punto più alto della stessa sia l'afelio dell'ellisse a velocità minima. Infatti tracciando la traiettoria si osserva che al polo N e al bersaglio B ci deve essere la stessa energia cinetica dato che c'è la stessa energia potenziale distando entrambi del raggio terrestre dal centro-fuoco. Ecco perchè, affinchè l'energia cinetica (e la velocità) in N ( e in B) sia minima è necessario che il centro della Terra sia il fuoco più lontano. Per trovare teta bisogna poi applicare la nota proprietà tangenziale dell'ellisse secondo cui la tangente in un suo punto ( il polo N) forma angoli uguali con le congiungenti il punto con i fuochi. A me viene, facendo i conti sugli angoli e se non ho sbagliato, teta uguale p/8-fi/4.
Re: Missile dal polo
La soluzione è giusta!
Come hai detto la traiettoria è un elisse che ha un fuoco nel centro della terra. Magari spiega meglio dove deve essere il secondo fuoco affinché la velocità sia minima, perché potrebbe non essere chiarissimo
Come hai detto la traiettoria è un elisse che ha un fuoco nel centro della terra. Magari spiega meglio dove deve essere il secondo fuoco affinché la velocità sia minima, perché potrebbe non essere chiarissimo
Re: Missile dal polo
Visto che il problema mi sembra interessante, e la soluzione di poor è poco dettagliata nella spiegazione... ditemi se ho capito l'idea!
La traiettoria è ellittica per la legge di Keplero? Per dirla meglio: è una sezione conica per forza, e siccome il missile deve curvare all'indietro senza girare attorno al centro della Terra, allora deve per forza essere ellittica? Correggetemi se ho detto una cacata
A questo punto, si lavora con l'energia per ricavare la velocità iniziale e si cerca la situazione in cui questa si minimizza, corretto? Vorrei provare a risolverlo subito, ma non in questo stato di pre-sonno, già così ho paura di aver capito poco...
La traiettoria è ellittica per la legge di Keplero? Per dirla meglio: è una sezione conica per forza, e siccome il missile deve curvare all'indietro senza girare attorno al centro della Terra, allora deve per forza essere ellittica? Correggetemi se ho detto una cacata
A questo punto, si lavora con l'energia per ricavare la velocità iniziale e si cerca la situazione in cui questa si minimizza, corretto? Vorrei provare a risolverlo subito, ma non in questo stato di pre-sonno, già così ho paura di aver capito poco...
Re: Missile dal polo
Le orbite iperboliche e paraboliche sono orbite di fuga, quindi se il missile seguisse una di queste 2 traiettorie non tornerebbe più sulla terra. La traiettoria deve essere un elisse.
Questa è una buona idea, provanace26 ha scritto: A questo punto, si lavora con l'energia per ricavare la velocità iniziale e si cerca la situazione in cui questa si minimizza, corretto?
Re: Missile dal polo
Sezionando la Terra con il piano dell'orbita si possono prendere coordinate con asse verticale NS e asse orizzontale EW. L'ellisse deve avere il fuoco più lontano nel centro affichè l'energia cinetica al polo N e al bersaglio B (che è identica perchè nei due punti c'è la stessa energia potenziale distando entrambi dal fuoco nel centro della Terra O della quantità R, raggio terrestre: e se l'energia potenziale è uguale tale deve essere anche la cinetica perché la somma deve rimanere costante) sia minima. Si sa infatti che l'energia cinetica è maggiore nella zona del perielio e minore nella zona dell'afelio: come nell'orbita terrestre attorno al Sole, quando la Terra è più lontana dal Sole, nella zona dell'afelio, si muove più lentamente. Quindi il centro della Terra deve essere il fuoco più LONTANO sennò energia cinetica e velocità in N e B sarebbero MAGGIORI.
Nel sistema che ho suggerito, l'angolo formato dalla retta tangente all'ellisse nel polo N con la congiungente polo-fuoco lontano cioè con NO, risulta facilmente (p/2 - teta). Basta fare una figura per rendersene conto. Per la proprietà tangenziale dell'ellisse da me citata, anche l'angolo formato dalla stessa tangente in N con la congiungente l'altro fuoco deve essere uguale: quindi per determinare l'altro fuoco si riporta nella figura un angolo uguale a (p/2-teta)e si vede dove il suo secondo lato incontra l'asse dell'ellisse. Lì c'è il secondo fuoco. Ma si osserva poi facilmente che questo angolo è anche uguale a (p/4-fi/2). Quindi per determinare teta basta risolvere l'equazione in teta (p/2-teta)= (p/4-fi/2).Si ricava teta = pi/8-fi/4.
Spero di essere stato esauriente questa volta...
Nel sistema che ho suggerito, l'angolo formato dalla retta tangente all'ellisse nel polo N con la congiungente polo-fuoco lontano cioè con NO, risulta facilmente (p/2 - teta). Basta fare una figura per rendersene conto. Per la proprietà tangenziale dell'ellisse da me citata, anche l'angolo formato dalla stessa tangente in N con la congiungente l'altro fuoco deve essere uguale: quindi per determinare l'altro fuoco si riporta nella figura un angolo uguale a (p/2-teta)e si vede dove il suo secondo lato incontra l'asse dell'ellisse. Lì c'è il secondo fuoco. Ma si osserva poi facilmente che questo angolo è anche uguale a (p/4-fi/2). Quindi per determinare teta basta risolvere l'equazione in teta (p/2-teta)= (p/4-fi/2).Si ricava teta = pi/8-fi/4.
Spero di essere stato esauriente questa volta...
Re: Missile dal polo
Mmm non mi è chiarissimo 
Giustamente tu hai detto che l'ellisse ha un fuoco nel centro, e l'altro sull'asse, e ovviamente deve passare per il polo, ma di elissi con questa proprietà ce ne sono infiniti. E' importante vedere perché vale
, che non è sempre vera, ma vale soltanto in un caso particolare che è quello in cui la velocità iniziale è minima. Trovare il caso particolare è la parte interessante del problema
Giustamente tu hai detto che l'ellisse ha un fuoco nel centro, e l'altro sull'asse, e ovviamente deve passare per il polo, ma di elissi con questa proprietà ce ne sono infiniti. E' importante vedere perché vale
Re: Missile dal polo
Scusa ma solo stasera ho preso visione. Non deve passare solo per il polo ma anche per B. La condizione tangenziale individua univocamente il secondo fuoco perché l'asse maggiore dell'ellisse è quello del segmento NB. Per cui in sostanza abbiamo i due fuochi e due punti. Cercherò se sono sufficienti a individuare univocamente un'ellisse. Avevo avuto anch'io il dubbio ma avevo concluso che due fuochi e due punti dovevano equivalere ai canonici cinque punti. Approfondirò...Grazie
Re: Missile dal polo
La condizione tangenziale non individua univocamente il secondo fuoco perché la retta tangente all'ellisse non è nota a priori, anzi volendo vedere è proprio ciò che vogliamo trovare.
Metto un immagine per spiegare meglio:
Puoi vedere 2 possibili traiettorie che il missile può seguire per andare da N a C, con le rispettive rette tangenti in N e posizioni del secondo fuoco. In base alla retta tangente che scelgo ho una posizione per il secondo fuoco. Con i 2 fuochi e un punto (in questo caso sono 2, ma sono simmetrici rispetto all'asse, quindi vanno bene comunque) si determina univocamente un elisse.
Metto un immagine per spiegare meglio:
Puoi vedere 2 possibili traiettorie che il missile può seguire per andare da N a C, con le rispettive rette tangenti in N e posizioni del secondo fuoco. In base alla retta tangente che scelgo ho una posizione per il secondo fuoco. Con i 2 fuochi e un punto (in questo caso sono 2, ma sono simmetrici rispetto all'asse, quindi vanno bene comunque) si determina univocamente un elisse.
Re: Missile dal polo
Mi dispiace ma non sono d'accordo. Ovviamente per ogni angolo di lancio teta, esiste UNA e UNA sola tangente in N e UNA e UNA sola ellisse. Infatti le due che tu hai disegnato corrispondono a due teta diversi. (Se tu intendevi dire che sono infinite perché tali sono i valori possibili di teta dicevi una ovvietà ...).
Allora dato un certo angolo di lancio teta - che poi è da trovare con la nostra equazione in modo che v in N (e in B) sia minima - ho trovato le coordinate del secondo fuoco espresse con fi e teta. A questo punto il famoso "teorema del giardiniere" ci garantisce l'unicità dell'ellisse, avendo i due fuochi e il punto N (o B). Quindi uno dei due punti addirittura è superfluo: infatti B è individuato da N e dall'angolo di lancio teta e, come scrissi, energia cinetica e velocità in B sono le stesse che in N. Data allora l'unica ellisse, si danno due possibilità: 1) il centro della Terra è dove noi l'abbiamo messo, NB è nella zona afelio e la velocità in N e in B è minore; 2) il centro della Terra è nel secondo fuoco, NB è nella zona del perielio e la velocità in N(e in B) è maggiore. Quindi il valore di teta che noi abbiamo determinato è quello relativo alla velocità MINIMA perché essa è la minore fra due possibili valori. Il mio risultato, come hai ammesso, è giusto e pertanto per me la discussione si chiude qui.
Allora dato un certo angolo di lancio teta - che poi è da trovare con la nostra equazione in modo che v in N (e in B) sia minima - ho trovato le coordinate del secondo fuoco espresse con fi e teta. A questo punto il famoso "teorema del giardiniere" ci garantisce l'unicità dell'ellisse, avendo i due fuochi e il punto N (o B). Quindi uno dei due punti addirittura è superfluo: infatti B è individuato da N e dall'angolo di lancio teta e, come scrissi, energia cinetica e velocità in B sono le stesse che in N. Data allora l'unica ellisse, si danno due possibilità: 1) il centro della Terra è dove noi l'abbiamo messo, NB è nella zona afelio e la velocità in N e in B è minore; 2) il centro della Terra è nel secondo fuoco, NB è nella zona del perielio e la velocità in N(e in B) è maggiore. Quindi il valore di teta che noi abbiamo determinato è quello relativo alla velocità MINIMA perché essa è la minore fra due possibili valori. Il mio risultato, come hai ammesso, è giusto e pertanto per me la discussione si chiude qui.