Attrito su un cilindro

[sall96]

Bel problemino per le vacanze

Un cilindro di massa e raggio si muove con una velocità attraverso una regione di spazio che contiene particelle di massa a riposo. Ci sono di queste particelle per unità di volume. Il cilindro si muove in una direzione perpendicolare al proprio asse. Assumi , e che le particelle non interagiscano tra di loro. Qual'è la forza di attrito per unità di lunghezza sul cilindro?

[arna1998]

Non sono troppo sicuro della soluzione
Analizziamo una singola molecola che urta il cilindro ad un angolo rispetto alla direzione in cui si muove. La velocità della molecola cambia soltanto nella direzione dell'urto, applichiamo quindi la legge di conservazione della quantità di moto lungo questa direzione. La velocità della molecola sarà: , ma siccome , possiamo approssimare .
può variare da e , il valore medio di in questo intervallo è , quindi possiamo supporre che tutte le molecole dopo l'urto abbiano velocità indipendentemente dalla loro posizione. L'energia cinetica di una molecola dopo l'urto è
Supponiamo che il cilindro abbia altezza , in un intervallo di tempo il numero di molecole che si scontrano con il cilindro è . Quindi l'energia totale trasferita dal cilindro alle molecole è . Se divido entrambi i membri per ottengo la potenza che la forza d'attrito delle molecole dissipa. Usando la relazione , ottengo , dove ho anche diviso per siccome cerco la forza d'attrito per unità di lunghezza.

[nace26]

Domanda forse stupida : è corretto considerare la media di , elevarla al quadrato e poi inserirla nell'equazione dell'energia? Il risultato in verità cambia di pochissimo, ma per rigore non bisognerebbe fare la media di ?

[sall96]

Attenzione che ti sei dimenticato una m nel risultato finale se no non torna dimensionalmente
Comunque il risultato che ti torna non è giusto, e il motivo penso sia che usi le medie. Infatti le particelle che sbattono ai bordi del cilindro influiscono meno sulla forza (perché sostanzialmente si bilanciano con quelle dalla parte opposta). Infatti se tu facessi la media con ti verrebbe la forza che subirebbe una superficie piatta, non curva.
Se posso darti un consiglio non ragionare con le medie ma usa il buon vecchio
Sperando di non averti detto troppe cavolate

[arna1998]

Grazie delle risposte. Avevo usato le medie per evitare di integrare, ma non si è rivelata una grande idea... Provo a seguire lo stesso ragionamento con i vostri consigli

Dopo l'urto una molecola ha velocità . Quindi l'energia cinetica di una molecola è .
Il numero di molecole che impattano il cilindro con un angolo in un intervallo è dato da , quindi per ogni angolo si ha che l'energia che il cilindro cede alle molecole è .
Integrando . A questo punto applico ciò che avevo fatto anche prima ad , e ottengo

Spero di non aver scritto altre cavolate

[sall96]

Questo è giusto