55: una palla che gira e cade

[Gimmy]

Dal grattacielo più alto del mondo () viene lasciata cadere una sfera di raggio e massa che ruota attorno ad un asse parallelo al suolo con velocità angolare . La densità dell'aria è ; trascurare gli effetti frenanti della viscosità.
Detta la velocità di arrivo al suolo, e supponendo che , trovare (una stima ragionevole di):
- ;
- , l'angolo formato da con la verticale;
e dimostrare che .

Se qualche conto in particolare vi rompe un po' troppo, è permesso usare qualche calcolatore tipo Wolfram e boh, guardate questo: https://www.youtube.com/watch?v=QtP_bh2lMXc

[andrea96]

La rotazione della terra e la viscosità dell aria le consideriamo trascurabili?

[Gimmy]

La rotazione della terra e la viscosità dell aria le consideriamo trascurabili?

Sì, aggiungo in traccia per la viscosità.

[Simone256]

Il video è fantastico <3_<3

[CapitanFindus]

e avete visto il video di Veritasium dove ne parlano? https://www.youtube.com/watch?v=2OSrvzNW9FE

Comunque, io farei la stima nel modo seguente.

Considero il modello bidimensionale della sezione della sfera che ruota in senso orario, ossia un cerchio di raggio R. Chiamo A l'estremità sinistra e B l'estremità destra. Per il teorema di Bernoulli viene a generarsi una forza verso destra; la cosa può essere così formulata:

dove D è la densità dell'aria ( la rho si confonde con la p )

inoltre , dove V è la velocità dell'aria dell'ambiente circostante (mi rendo conto che questo è il punto meno saldo del mio ragionamento, infatti non saprei con che principio fisico motivarlo ma direi semplicemente che le velocità si sommano algebricamente un pò come in tutti quegli esercizi con i cilindri rotanti che si tangono)

sostituendo le velocità nell'equazione di Bernoulli trovo che la dove posso sostituire in quanto corrisponde alla velocità di caduta della palla


Ora, questo disco è in realtà un volumetto infinitesimale con spessore (una fettina di sfera), e di conseguenza la superficie laterale è quella su cui "spinge" la pressione. Possiamo così trovare la forza F totale integrando da R a -R dF:

F = (questa cosa è abbastanza approssimativa in quanto la pressione in realtà non è costante lungo la profondità della sfera ma vabè)

trovo così una accelerazione che dipende linearmente dal tempo, e quindi integrando due volte col il tempo totale di caduta trovo questa espressione per lo spazio percorso sull'asse x

dove stimando le costanti con la palla da basket nel video (preso le dimensioni della palla su wikipedia e la densità dell'aria 1,3kg/m^3 e posta la velocità angolare uguale a 2 giri al secondo come nel video(?) ) mi esce qualcosa come 640 metri, che mi sembra abbastanza ragionevole visto che l'altezza da cui lo si lancia è 900m.
L'angolo esce molto approssimativamente di 60 gradi che assomiglia a quello che si vede nel video.

Che ne pensate?

[Gimmy]

e avete visto il video di Veritasium dove ne parlano? https://www.youtube.com/watch?v=2OSrvzNW9FE

Comunque, io farei la stima nel modo seguente.

Considero il modello bidimensionale della sezione della sfera che ruota in senso orario, ossia un cerchio di raggio R. Chiamo A l'estremità sinistra e B l'estremità destra. Per il teorema di Bernoulli viene a generarsi una forza verso destra; la cosa può essere così formulata:

dove D è la densità dell'aria ( la rho si confonde con la p )

inoltre , dove V è la velocità dell'aria dell'ambiente circostante (mi rendo conto che questo è il punto meno saldo del mio ragionamento, infatti non saprei con che principio fisico motivarlo ma direi semplicemente che le velocità si sommano algebricamente un pò come in tutti quegli esercizi con i cilindri rotanti che si tangono)

sostituendo le velocità nell'equazione di Bernoulli trovo che la dove posso sostituire in quanto corrisponde alla velocità di caduta della palla


Ora, questo disco è in realtà un volumetto infinitesimale con spessore (una fettina di sfera), e di conseguenza la superficie laterale è quella su cui "spinge" la pressione. Possiamo così trovare la forza F totale integrando da R a -R dF:

F = (questa cosa è abbastanza approssimativa in quanto la pressione in realtà non è costante lungo la profondità della sfera ma vabè)

trovo così una accelerazione che dipende linearmente dal tempo, e quindi integrando due volte col il tempo totale di caduta trovo questa espressione per lo spazio percorso sull'asse x

dove stimando le costanti con la palla da basket nel video (preso le dimensioni della palla su wikipedia e la densità dell'aria 1,3kg/m^3 e posta la velocità angolare uguale a 2 giri al secondo come nel video(?) ) mi esce qualcosa come 640 metri, che mi sembra abbastanza ragionevole visto che l'altezza da cui lo si lancia è 900m.
L'angolo esce molto approssimativamente di 60 gradi che assomiglia a quello che si vede nel video.

Che ne pensate?

Il ragionamento per stimare la forza dovuta all'effetto Magnus l'ho fatto in modo molto simile, però probabilmente mi sono spiegato male nella traccia: l'idea del problema è lanciare una palla da moolto in alto (non importa quanto) e stimare 1) la forza dovuta al Magnus (come hai fatto tu) e 2) la resistenza dell'aria, assolutamente non più trascurabile per certe altezze!, per poi vedere l'effetto combinato delle due forze. Con "trascurare la viscosità" non intendevo affatto "trascurare l'attrito aerodinamico", che è un'altra cosa!
Non ho visto per bene tutti i tuoi conti, però attento, che la forza dovuta all'effetto Magnus non è parallela al suolo durante tutto il moto, quindi non puoi trovare lo spostamento semplicemente integrando così.

[andrea96]

Innanzi tutto stimiamo qual'è l'effetto della presenza dell'aria. Mi metto in un riferimento centrato nella palla con la velocità dell'aria ( cambiando riferimento è l'aria a muoversi) nella direzione negativa delle x e l'asse di rotazione è z. Uso coordinate sferiche quindi ( che non è quello del post di gimmy ) è l'angolo tra il raggio vettore e l'asse y mentre è l'angolo nel piano x-z misurato dall'asse x. Una forza è di sicuro la resistenza dell'aria nella direzione delle x positive. Faccio quindi questa stima: le particelle rimbalzano anelasticamente sulla palla cambiando solo la componente normale (brutta parola di questi giorni ) che è:

quindi una massa di aria che rimbalza nel tempo dà una forza radiale
ma visto che le forze nelle direzioni trasversali a si bilanciano ci interessa solo la componente lungo l'asse x:

ora quanto vale ? Nel tempo sbatte tutta la massa compresa nel volumetto (dove è l'area efficace) così che . Ora mettendo insieme i pezzi , quindi


(essendo la stima molto grossolana il coefficiente è quasi a caso, ci interessa più la forma e l'ordine di grandezza).
Ora veniamo alla parte bella: l'aria esercita anche una forza perpendicolare alla velocità che chiameremo nel seguente modo: nella rotazione la palla si "trascina" dietro l'aria così che la velocità tangenziale dell'aria sarà la somma della velocità intrinseca dell'aria ( in realtà era della palla ma abbiamo cambiato riferimento) e quella della palla a contatto con essa. Quindi chiamandola si ha e da bernouilli otteniamo che prendendo la sezione individuata dall'angolo , abbiamo una differenza di pressione tra i punti individuati da e che è
questo gradiente di pressione eserciterà una forza normale ( ancora gufate ) ma per simmetria le componenti in direzione x si elidono quindi avremo solo una forza perpendicolare alla velocità la cui componente infinitesima è
e dunque

che è sempre perpendicolare sia alla velocità che all'asse di rotazione.
Ora se uno prova un po di valori ragionevoli viene fuori che la palla arriva molto rapidamente in una condizione di regime in cui le tre forze agenti si bilanciano, vediamo dunque quanto valgono e (angolo con la verticale, ho dovuto necessariamene cambiare nome) nella condizione di regime.
l'equilibrio nella direzione della velocità dà:
cioè
ora l'approssimazione in Taylor "è banale ed è ovviamente" (Gimmy mi capirà ) .
ora imponendo anche l'equilibrio nella direzione trasversa viene fuori
e mettendo insieme le due cose se non ho sbagliato i conti dovrebbe venire

[Gimmy]

Baam!
Mi stavo perdendo tra tutti quei seni e coseni, ma mi pare tutto giusto! In particolare, mi è piaciuto molto com'è venuto l'effetto Magnus in coordinate sferiche e penso che sia anche più di una stima.
La mia stima sulla resistenza dell'aria era stata la stessa, ma stranamente mi trovo con un fattore appena diverso (però ho integrato a cipolla e senza coordinate sferiche).
In ogni caso, a te il prossimo!

Comunque mi sono sorpreso di come l'angolo non venisse così grande di come sembrava nel video, ma dell'ordine di circa 10 gradi, sarà che le stime sono rozze, ma... mah!

[andrea96]

Comunque mi sono sorpreso di come l'angolo non venisse così grande di come sembrava nel video, ma dell'ordine di circa 10 gradi, sarà che le stime sono rozze, ma... mah!

Mah più che altro direi che nel video la rotazione della palla è molto più potente così che il << dovrebbe essere cambiato con un >> e la situazione è totalmente diversa: la palla non arriva all equilibrio e da un certo punto in poi la gravitá è forse addirittura trascurabile rispetto all effetto magnus così che la traiettoria assomiglia molto più a una circonferenza che a una retta