SNS 1996-1997 (3)

Fedecart · Messaggio da **Fedecart** » 23 ago 2009, 23:35

Una pistola spara proiettili di $20g$ di massa. Nell'esplosione $6x10^{-3}$ moli di un gas ideale vengono rilasciate in un volume di $0,2 cm^3$ ad una temperatura di $1000 K$ . La canna della pistola ha un volume di circa $20 cm^3$ . Si assuma assenza di attrito ed una esplosione adiabatica del gas. Si assuma che il rapporto tra calore specifico a pressione costante e calore specifico a volume costante valga per questo gas ideale 1,5.
Qual'è la velocità di uscita del proiettile? (Si ricordi che il valore della costante dei gas perfetti è $R=8,314 x 10^7 \frac{erg}{K}$ )

Messaggio da **spn** » 24 ago 2009, 1:01

Questo mi sembra un'altro dei soliti problemi sns dove la difficoltà stà nell'interpretazione

Secondo me, siccome ci dà il valore del rapporto fra i calori specifici, cioè $\gamma$ , la trasformazione adiabatica è da considerarsi reversibile. Percui:

$T_0 V_0^{\gamma - 1}=T_1 V_1^{\gamma - 1}$

$T_1= T_0\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma - 1}$

Inoltre, essendo la trasformazione adiabatica $Q=0$ , da cui:

$-\Delta U = L$

${3 \over 2}n R (T_0 - T_1) = {1 \over 2} m v^2$

$v =\sqrt{3 {n \over m }R T_0 \left(1 - \left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma - 1}\right)}= 82 m/s= 295 km/h$

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 24 ago 2009, 1:22

Due cose non hai considerato nella soluzione:

1. Nessuno ti dice che $C_V$ sia $\displaystyle 3 /2$ , anzi, dato che $\gamma = 3/2$ è anche abbastanza intuibile che non può essere

2. Il lavoro, per quanto molto minore di questo, ma non per questo trascurabile, fatto contro la pressione atmosferica

Messaggio da **spn** » 24 ago 2009, 2:45

Alex90 ha scritto:1. Nessuno ti dice che $C_V$ sia $\displaystyle 3 /2$ , anzi, dato che $\gamma = 3/2$ è anche abbastanza intuibile che non può essere

Infatti è chiaro che $C_V$ non può essere come $\gamma$ , ma non mi pare di averlo usato da qualche parte...

Per il lavoro sulla pressione atmosferica ci penso domani, alle 3 sono leggermente stanco

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 24 ago 2009, 3:03

spn ha scritto:Infatti è chiaro che $C_V$ non può essere come $\gamma$ , ma non mi pare di averlo usato da qualche parte...

Quando dici che $\Delta E = \frac{3}{2}nR \Delta T$ usi implicitamente questo.

MrTeo · Messaggio da **MrTeo** » 24 ago 2009, 7:29

Anche io avevo preso una strada simile a quella di spn, ma lavorando con le variazioni di energia collegate alla variazione del prodotto PV (e al lavoro compiuto nell'espansione contro l'atmosfera). Ho impostato così:

$\begin{array}{l} P_1 = \frac{{nRT_1 }}{{V_1 }} = 2,49 \cdot 10^8 \;Pa \\ P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \\ P_2 = P_1 \left( {\frac{{V_1 }}{{V_2 }}} \right)^\gamma = 2,49 \cdot 10^5 \;Pa \\ \end{array}$

A questo punto ho applicato la teoria cinetica:

$\begin{array}{l} PV = \frac{1}{3}Nmv_m^2 \\ \frac{3}{2}PV = \frac{1}{2}Nmv_m^2 \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{2}\left( {P_1 V_1 - P_2 V_2 } \right) + P_{atm} \Delta V = \Delta E_c \\ 3\left( {P_1 V_1 - P_2 V_2 } \right) + P_{atm} \Delta V = m_p v_p^2 \\ v_p = \sqrt {\frac{{3\left( {P_1 V_1 - P_2 V_2 } \right) + P_{atm} \Delta V}}{{m_p }}} = 82,67\;\frac{m}{s} \\ \end{array}$

Quindi i risultati sono pressochè concordi (a parte la piccola variazione dovuta al lavoro compiuto a $P_{atm}$ ). Come ha detto Alex90 il gas non credo possa essere monoatomico, quindi si dovrebbe forse sostituire il 3 con un 5, ma ricordando come viene ricavata la teoria cinetica direi che si possono anche tralasciare componenti vibrazionali e rotazionali che, anche se siamo ad alta temperatura, mi sembrano trascurabili rispetto a quelle traslazionali che determinano in gran parte il valore della pressione.

Che ne pensate?

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 24 ago 2009, 10:30

Altre due cose:

1) Il lavoro fatto contro la pressione atmosferica è "negativo", quindi va sottratto a quello fatto dal gas, messo così vorrebbe dire facendo espandere il gas contro un qualche agente esterno, ne guadagna ulteriore velocità.

2) Il calcolo che fai è indipendente dalla "strada seguita" dal gas per passare dallo stato 1 allo stato 2, e questo generalmente non è vero.

Messaggio da **Ippo** » 24 ago 2009, 10:46

La cosa che mi ha turbato abbastanza quando ho fatto questo problema è stata la temperatura del gas dopo l'espansione:

spn ha scritto: $T_0 V_0^{\gamma - 1}=T_1 V_1^{\gamma - 1}$

$T_1= T_0\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma - 1}$

Ma ${\left( {V_0 \over V_1} \right)}^{\gamma-1}=\sqrt{1 \over 100}={1 \over 10}$ da cui $T_1={T_0 \over 10}=100{\rm K}$
...freddino

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 24 ago 2009, 10:53

spn ha scritto: ${3 \over 2}n R (T_0 - T_1) = {1 \over 2} m v^2$

Io ho fatto uguale ma senza quel $3/2$ , infatti nel testo non sta scritto che sia una trasformazione isocora da poter usare $C_v$ . Per me il lavoro è il semplice $n R (T_0 - T_1)$

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 24 ago 2009, 10:55

Ippo ha scritto:La cosa che mi ha turbato abbastanza quando ho fatto questo problema è stata la temperatura del gas dopo l'espansione:

spn ha scritto: $T_0 V_0^{\gamma - 1}=T_1 V_1^{\gamma - 1}$

$T_1= T_0\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma - 1}$
Ma ${\left( {V_0 \over V_1} \right)}^{\gamma-1}=\sqrt{1 \over 100}={1 \over 10}$ da cui $T_1={T_0 \over 10}=100{\rm K}$
...freddino

Già! da 1000 a 100 deve essere un bel saltino di temperatura! chissà cosa succederebbe in espansioni galattiche!

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