Resistenze e ipercubi

[spn]

Un'ipercubo 4-dimensionale ha ogni lato con resistenza . Trovare la resistenza equivalente fra due estremi dell'ipercubo (cioè fra i punti(0,0,0,0) e (1,1,1,1)).

[Ippo]

Un'ipercubo

[puntiglio grammaticale] senza apostrofo [/puntiglio grammaticale]

Comunque, detto il potenziale in (0,0,0,0), abbiamo un altro potenziale in (1,0,0,0) ... (0,0,0,1); un potenziale in uscita in (1,1,1,1) e, come prima, un potenziale in (1,1,1,0) ... (0,1,1,1); tutti gli altri vertici si trovano a 2 passi sia dall'ingresso sia dall'uscita, quindi devono essere tutti allo stesso potenziale (altrimenti scambiando ingresso e uscita avremmo un assurdo). Adesso contiamo gli spigoli dell'ipercubo.
Tra e abbiamo 4 spigoli cioé 4 resistenze, idem tra e per simmetria; tra e , e tra e per simmetria, ne abbiamo (da ciascuno dei 4 vertici a potenziale si può andare in 3 diversi vertici a potenziale portando da 0 ad 1 una delle tre coordinate nulle).
Il circuito equivalente quindi è costituito da 4 resistenze in serie, di cui due valgolo e due . Il totale è
O mi sbaglio?
(bella variazione sul tema comunque! )

[Ippo]

ipercubo.jpg (11.02 KiB) Visto 7533 volte

questa è una rappresentazione dell'ipercubo in due sezioni tridimensionali, una con lo spazio (x,y,z,0) e l'altra con lo spazio (x,y,z,1). I numeri indicano la quantità di "passi" necessari a raggiungere il vertice partendo da 0. Si vede in modo chiaro che tutti i punti contrassegnati dal 2 sono a contatto con due 1 e con due 3, perciò sono indistinguibili ---> hanno lo stesso potenziale.

[String]

Una domanda:

Adesso contiamo gli spigoli dell'ipercubo.
Tra e abbiamo 4 spigoli cioé 4 resistenze, idem tra e per simmetria; tra e , e tra e per simmetria, ne abbiamo (da ciascuno dei 4 vertici a potenziale si può andare in 3 diversi vertici a potenziale portando da 0 ad 1 una delle tre coordinate nulle).

se il cubo fosse a 5,6,7...dimensioni come si tradurrebbe questo passaggio? Cioè se prendiamo un cubo a 4 dimensioni abbiamo che prima la corrente si divide in 4 rami, poi in dodici, poi rimane ancora in 12, infine ritorna in 4 rami. Come individuiamo il percorso della corrente nel caso ad esempio di un cubo a 7 dimensioni?

[Ippo]

Dunque... i vertici distanti k passi dall'ingresso in un ipercubo n-dimensionale sono tanti quante sono le stringhe di k cifre 1 ed n-k cifre 0, cioé
Da un vertice distante k passi dall'ingresso vi sono n-k rami che portano ad un vertice distante k+1 passi (si può cambiare da 0 ad 1 una qualsiasi delle n-k coordinate nulle del punto), perciò tra il potenziale k-esimo e il potenziale k+1-esimo vi sono resistenze R, e perciò una resistenza equivalente pari a perciò la resistenza equivalente totale è


Questa formula è effettivamente in accordo coi risultati per il quadrato, per il cubo e per l'ipercubo a 4 dimensioni (per dà , calcolabile immediatamente; per dà che è il risultato del noto problema Halliday-SNS-etc., e per dà calcolato sopra).

[String]

Perfetto, in pratica le ramificazioni della corrente in un cubo n-dimensionale seguono l' n-esima riga del triangolo di Tartaglia in cui tutti i numeri sono moltiplicati per n. Io l'avevo solo immaginato senza riuscire a dimostrarlo. Grazie per la spiegazione

[spn]

La cosa che più mi aveva più colpito è la bellezza del risultato finale, mi aspettavo qualcosa di più arzigogolato di . La generalizzazione a ipercubi n-dimensionali è fica, ogni tanto fa bene vedere un pò di combinatoria pure in fisica