SNS 1995/1996 n°3 - sistemi di stelle in rotazione

[Ippo]

Tre stelle di ugual massa, M/3 (M è la massa dell'intero sistema), in mutua attrazione gravitazionale, ruotano su un'orbita circolare di raggio R intorno al centro di massa del sistema, mantenendo la loro posizione relativa in modo da occupare i vertici di un triangolo equilatero.
a) determinare la velocità angolare di ciascuna stella attorno al centro di massa
b) per orbite circolari di raggio R fissato e sistemi di massa totale M assegnata, come si paragona il valore di con la velocità angolare di un sistema binario ? E con (quattro stelle ai vertici di un quadrato)?
c) siete in grado di valutare il valore limite ?

Il punto c è curioso.

[eli9o]

Io sono curioso e provo direttamente il punto (c) così se lo sbaglio me lo merito

Consideriamo una particella che avrà massa . Il centro di massa delle altre particelle coincide col centro dell'orbita e complessivamente hanno massa (più precisamente ma non influisce). La forza centripeta dev'essere data unicamente dall'attrazione gravitazionale quindi e ottengo


Intanto che ci sono pongo un'altra domanda: dimostrare che è una successione crescente.
In realtà non l'ho dimostrato (quindi neanche se è vero) e non so quanto si complichi però ci si può dare almeno un'interpretazione qualitativa. Mi sembrava interessante e l'ho messo.

[CoNVeRGe.]

La forza centripeta dev'essere data unicamente dall'attrazione gravitazionale quindi e ottengo

Non credo tu possa assumere la massa tutta al centro, servirebbe una simmetria sferica per poterlo fare.

[Ippo]

Non credo tu possa assumere la massa tutta al centro, servirebbe una simmetria sferica per poterlo fare.

Esatto. Purtroppo per il punto c, che io sappia, non c'è nessuno stratagemma elegante.

[Ippo]

Tra l'altro si tratterebbe, anche in caso di simmetria sferica, di un punto della superficie sferica, quindi non strettamenete esterno né interno. Allora quale teorema dei gusci applicare? La froza è nulla o è equivalente a quella generata da una massa puntiforme nel centro? In realtà non è nessuna delle due. Il risultato è abbastanza paradossale e la causa del paradosso è il passaggio dal discreto al continuo (il limite per n che tende ad infinito). C'è un perché se la materia è quantizzata

[Falco5x]

Ho la sensazione che il paradosso che esce considerando un numero infinito di stelle infinitesime derivi dal fatto che si pretende di distribuire una massa finita lungo un anello di spessore zero, motivo per il quale avendo questo una densità lineare finita dovrebbe possedere una densità volumica infinita.

[Ippo]

Io credo che sia una cosa di questo tipo: una forza che varia con l'inverso del quadrato della distanza genera banalmente un infinito quando le due masse si avvicinano indefinitamente; qui il fatto apparentemente curioso è che le masse sono quasi allineate lungo la tangente all'anello, ma generano una forza infinita (dimostratelo, fate il problema, su! ) in direzione radiale; ma la forza radiale è la forza totale moltiplicata per il seno dell'angolo alla circonferenza individuato dalle due masse, che è approssimativamente la distanza tra le masse (cioè la corda che queste individuano) diviso il diametro; il prodotto di queste due cose (la forza che va con e il seno che va con ) è proporzionale a , che ovviamente tende ad infinito quando avviciniamo indefinitamente le masse ( = quando abbiamo una distribuzione continua di massa).

Ho la sensazione che il paradosso che esce considerando un numero infinito di stelle infinitesime derivi dal fatto che si pretende di distribuire una massa finita lungo un anello di spessore zero, motivo per il quale avendo questo una densità lineare finita dovrebbe possedere una densità volumica infinita.

In un certo senso sì, considerare ad esempio masse puntiformi ( = di massa volumica infinita) non crea problemi finché non ci chiediamo come si comporterebbe una massa dentro il punto, che è con le dovute differenze quello che chiede di fare questo problema.

[Ippo]

Vabbè, visto che non se lo fila nessuno ecco la soluzione (a beneficio dei posteri, non si sa mai )

a) La distanza tra due stelle è quindi la forza tra ciascuna coppia di stelle è

Rispetto alla mediana per una certa massa le due forze sono inclinate entrambe di 30°, da parti opposte; contano solo i contributi nella direzione della mediana e la risultante è
Si impone ora la condizione per il moto circolare uniforme e si ricava :
da cui

b) Stessa cosa con le opportune differenze geometriche; risulta
e
da cui

Il caso binario è banale, si ha
c) Consideriamo una distribuzione continua di massa a forma di anello, di densità lineare
Un punto P di questa distribuzione è soggetto ad una accelerazione che è la somma degli infiniti contributi di ciascun altro punto dell'anello. Chiamiamo il complementare dell'angolo che il raggio vettore dal centro a ciascun punto individua rispetto al raggio vettore dal centro a P.
Si ha per il teorema del coseno; poiché la situazione è simmetrica rispetto al diametro per P, tutti i contributi ortogonali a tale diametro si elidono con contributi uguali ed opposti, quindi vanno considerate solo le componenti delle forze in quella direzione. Risulta
dove g è il campo gravitazionale. è l'angolo alla circonferenza in P, che ha per corrispondente al centro . Sostituendo e si ricava

Ora si ha che g è, per simmetria, due volte l'integrale da a di quella brutta roba lì:

è evidente che per la frazione tende ad infinito; anche l'integrale dà un infinito perché in qualsiasi intorno sinistro di è strettamente minore della retta quindi il suo reciproco (restando sufficientemente vicini a pi) è strettamente maggiore dell'iperbole il cui grafico come è noto sottende un'area infinita. Il grafico di sottende quindi un'area maggiore di un'altra che è infinita. Ciò dimostra che il campo gravitazionale in ciascun punto dell'anello è infinito e che

[SkZ]

un trucchetto: teorema del viriale.

In un sistema isolato in equilibrio di n particelle di massa m poste su una circonferenza di raggio R

ergo se

ma, ricordando che ,

e


PS: qualcuno mi spiega perche' si incasina quel frac? ho provato anche a ricopiarlo da altri o a spostare la formula, ma continua
Edit: Ok. abituato all'oliforum dove serve il $ per un display piu' grande. dimenticato che qui non serve e incasina solo. Ma perche' nella riga dopo non causava nulla?
piccolo errore nella sommatoria

[Alex90]

Sinceramente non so...così viene