Avevo scritto questo problema nella sezione teoria perchè pensavo che si potesse in qualche modo collegare a un argomento che si trattava li. Sono ( con mia grandissima sorpresa ) riuscito a risolvere il problema ma sfortunatamente non sono riuscito a trovare un collegamento con quell'argomento. Ho pensato quindi di postare il problema qui perchè 1) è una figata, 2) volevo vedere se dopo che qualcuno riesce a farlo riesce anche a trovare il collegamento con quel fatto ( che scrivo più giu ) .
Dimostrare che in ogni punto sulla superficie di un conduttore in equilibrio vale la seguente relazione:
)
Dove
è il versore normale alla superficie in quel punto ( per chi non conoscesse la notazione
è la derivata di
lungo la direzione perpendicolare alla superficie ) e
e
sono il raggio di curvatura massimo e minimo ( cioè tra tutte le curve che si possono tracciare sulla superficie in quel punto ce ne sono chiaramente due che in quel punto hanno i raggi di curvatura rispettivamente più grande e più piccolo di tutti quelli delle altre curve ).
Ora una volta che dimostrate quella relazione provate a ricavare da quella una relazione tra densità superficiale di carica e
e
. Io non ci sono riuscito e non so se si possa fare, però sarebbe bello.
[hint: se pensate che le curve di raggio di curvatura massimo e minimo siano mutuamente perpendicolari avete ragione. Io lo avevo assunto per vero perchè mi sembrava ragionevole e perchè altrimenti non avevo idee. Dopo aver trovato la soluzione ho cercato in internet e ho trovato un teorema che posto qui; "teorema di Eulero": sia
l'angolo che una curva forma con quella di raggio di curvatura massimo
, se
è invece il raggio di curvatura minimo, allora il raggio di curvatura di questa curva è dato da
]
