Esprimere la relazione fra gli angoli
SNS 2014 problema 5
SNS 2014 problema 5
L'indice di rifrazione dell'atmosfera cresce con continuita' dall'atmosfrea piu' alta, dove 
, fino alla superficie della terra, dove 
.
Esprimere la relazione fra gli angoli
e 
rispetto alla verticale, dove e' definito dalla direzione vera della luce proveniente da una stella al limite superiore dell'atmosfera e dalla direzione apparente della stella come osservata sulla superficie della terra. Si ignori la curvatura della terra.
Esprimere la relazione fra gli angoli
Rosso 5
Re: SNS 2014 problema 5
Quello che farei è dividere l'atmosfera in strati infinitesimi e applicherei la legge di Snell. In questo modo i due angoli del testo sono ancora legati dalla legge di Snell
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: SNS 2014 problema 5
Si l'idea è chiaramente giusta ma non pensare che in quel modo ti venga subito una funzione che ti lega l'angolo all'altezza... c'è da usare un "piccolo" stratagemma e poi approssimare; il problema più grosso è trovare l'approssimazione giusta che permetta di trovare una funzione. Bisognerebbe vedere un po con i dati che da fino a che punto si può approssimare..bogcal11 ha scritto:Quello che farei è dividere l'atmosfera in strati infinitesimi e applicherei la legge di Snell. In questo modo i due angoli del testo sono ancora legati dalla legge di Snell
Re: SNS 2014 problema 5
Scusa ma sono un po' inebetito... Quale altezza indendi?
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: SNS 2014 problema 5
più o meno quella che vuoi 
secondo me la più comoda è quella misurata a partire dal limite dell'atmosfera andando verso la terra
secondo me la più comoda è quella misurata a partire dal limite dell'atmosfera andando verso la terraRe: SNS 2014 problema 5
Scusa, non mi sono spiegato bene 
Non capisco perché dovrei trovare una finzione che mi leghi l'angolo all'altezza
Non capisco perché dovrei trovare una finzione che mi leghi l'angolo all'altezza"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: SNS 2014 problema 5
Perchè se la trovi, sostituendo all'altezza l'altezza dell'atmosfera, trovi la relazione che stai cercando
Re: SNS 2014 problema 5
scrivo la mia soluzione ditemi che ne pensate:
Chiamo
la distanza verticale da un punto generico al limite dell'atmosfera dove 
. Chiamo 
l'altezza dell'atmosfera. L'assunzione fondamentale è che la funzione )
essendo monotona crescente ed avendo pendenza media 
(quindi piccolissima ) si può assumere lineare, e quindi:
=\frac{n_t-1}{a}x+1)
Ora chiamando)
l'angolo che la luce forma con la verticale ad un altezza scrivo la legge di Snell all'altezza :
)}{sen(\theta(x+dx))}=\frac{n(x+dx)}{n(x)}=\frac{\frac{n_t-1}{a}(x+dx)+1}{\frac{n_t-1}{a}x+1}=1+\frac{\frac{n_t-1}{a}dx}{\frac{n_t-1}{a}x+1})
Ora nell'ultimo termine il denominatore è nella forma)
con 
e utilizzando l'approssimazione (non sapendo scrivere circa con Tex scrivo uguale) ^{\alpha}=1+\alpha (t))
se riduco magicamente la legge di Snell (trascurando il termine ^2)
perchè è molto più piccolo degli altri ) a:
)}{sen(\theta(x+dx))}=1+\frac{n_t-1}{a}dx)
Ora la cosa furba da fare è il cambio di variabile=\theta-\phi(t))
così che )
è sempre piccolissimo e posso scrivere(sempre senza saper usare il circa) )=1)
e )=\phi(x))
. Mettendo tutto nella legge di Snell ottengo quindi:
cotg(\theta)}{1-\phi(x+dx)cotg(\theta)}=1+\frac{n_t-1}{a}dx)
Ora utilizzando l'approssimazione di prima visto checotg(\theta)<<1)
:
cotg(\theta)}{1-\phi(x+dx)cotg(\theta)}=(1-\phi(x)cotg(\theta))(1-\phi(x+dx)cotg(\theta))=1+cotg(\theta)(\phi(x+dx)-\phi(x))-\phi(x)\phi(x+dx)cotg^2\theta=1+cotg(\theta)\phi'(x)dx)
dove ho trascurato il termine\phi(x+dx)cotg^2\theta)
perchè è piccolissimo, e ho usato il fatto che =\phi(x)+\phi'(x) dx)
La legge di Snell diventa quindi:
\phi'(x)dx=1+\frac{n_t-1}{a}dx)
cioè =tg{\theta} \frac{n_t-1}{a} x)
Quindi integrando e ricordando che=\theta-\phi(x))
si arriva a
=\theta-\frac{n_t-1}{a} tg{\theta} x)
e visto che)
la relazione cercata è
tg{\theta})
Chiamo
Ora chiamando
Ora nell'ultimo termine il denominatore è nella forma
Ora la cosa furba da fare è il cambio di variabile
Ora utilizzando l'approssimazione di prima visto che
dove ho trascurato il termine
La legge di Snell diventa quindi:
Quindi integrando e ricordando che
e visto che
Re: SNS 2014 problema 5
Molto simile alla mia, io ho solo fatto qualche approssimazione in meno e mi è venuto un risultato diverso (spero di non aver fatto errori 
, comunque l'impostazione è uguale 
). Penso vada bene
, comunque l'impostazione è uguale ). Penso vada bene Rosso 5
Re: SNS 2014 problema 5
Se uno vuole può anche evitare di trascurare il termine visto che essendo proporzionale a 
che poi si semplifica porta lo stesso a una soluzione nemmeno troppo più complicata, però non cambia di molto il risultato visto che quel termine è realmente molto piccolo anche quando 
... però scrivo quello che viene se non si trascura quel termine:
è banale vedere come si arriva a:
=\frac{n_t-1}{a}tg{\theta}-x(\frac{n_t-1}{a})^2)
Stavolta integrando si ottiene:
tg(\theta)\frac{n_t-1}{a}x-\frac{1}{2}(\frac{n_t-1}{a})^2 x^2)
e quindi=\theta-\phi(x)tg(\theta)\frac{n_t-1}{a}x-\frac{1}{2}(\frac{n_t-1}{a})^2 x^2)
e di conseguenzatg(\theta)-\frac{(n_t-1)^2}{2})
Però è evidente che il termine correttivo in più è talmente piccolo che non credo valga nemmeno la pena di scrivere questo pezzo in più al test...
è banale vedere come si arriva a:
Stavolta integrando si ottiene:
e quindi
e di conseguenza
Però è evidente che il termine correttivo in più è talmente piccolo che non credo valga nemmeno la pena di scrivere questo pezzo in più al test...