lastre piane e parallele... in movimento!

[andrea96]

ok l'idea è giusta, i conti non li ho controllati ma a occhio mi sembra che quello che ti viene ha senso... come ti sei reso conto anche tu c'è un problemino con la corrente, il fatto è questo: il "filo ideale" è infinitesimo e trasporta quindi una corrente infinitesima , se scrivi questa corrente come ( dove è costante visto che per simmetria la corrente è uniforme e è l'elemento di lunghezza infinitesimo perpendicolare al filo ) ti accorgerai che è la derivata della corrente rispetto alla lunghezza perpendicolare al filo, è l'analogo bidimensionale della densità di corrente e si chiama appunto densità superficiale di corrente. Per collegare ai dati del problema ti do una formula più generale ( e importantissima ) che da quello che ho capito non conosci: se una densità di carica si muove a velocità , in quel punto c'è una densità di corrente ; ora da queste cose prova a rifare l'integrale mettendoci dentro le cose nuove e dopo esserti ricavato la formula che ti ho dato nel caso bidimensionale.
In ogni caso sono convinto che ti arrabbierai parecchio quando ti dirò in che modo tutto questo poteva essere evitato

[arna1998]

Non avevo mai sentito parlare della densità di corrente, sono un po' più indietro sull'Halliday, anche se ora gli ho dato uno sguardo
Comunque, ho una domanda prima di provare a rifare l'integrale.
Mi hai detto che in ogni filo passa una corrente infinitesima tale . La costante è quindi qualcosa di analogo alla densità di corrente, ma siccome noi lavoriamo con una lastra in due dimensioni , che si misura in anziché in , ma funziona comunque giusto?

Mi incuriosisci dicendo che si poteva evitare tutto questo casino ahhahhahah

[andrea96]

Guarda visto che non conosci la densità di corrente ti spiego subito ci vogliono due parole: una definizione può essere proprio quella che ti ho dato prima cioè quindi è un vettore che ha la stessa direzione della velocità con cui si sta muovendo la carica in quel punto. Ora a che serve? serve perchè si può dimostrare ( e riuscirai sicuramente a farlo in un caso semplificato, cioè corrente uniforme in un filo ) che il flusso di questo vettore attraverso una superficie è la corrente totale che attraversa la superficie. Quando riduciamo le dimensioni possiamo sempre immaginare per semplicità che la dimensione che abbiamo eliminato c'è ma è molto piccola; quindi se invece di avere una densità volumica di carica ne ho una superficiale posso sempre immaginare che ci sia uno spessore piccolissimo così che e quindi scrivere . Ora visto che lo spessore è praticamente nulla capirai che la densità di corrente è praticamente infinita ( come lo è la densità di carica chiaramente ) quindi non serve a niente. Ci inventiamo allora un altro vettore, così che nel caso bidimensionale che possiamo facilmente collegare alla corrente in questo modo: calcolando il flusso su una superficie a sinistra otteniamo la corrente, a destra una delle due dimensioni della superficie è chiaramente che si semplifica con quella al denominatore, quindi viene fuori che nel caso bidimensionale la corrente è data da una specie di "flusso su una linea" ( con un abuso di termine ), cioè in realtà devi andare a fare un integrale sulla linea con le componenti di perpendicolari alla linea. Nel caso semplicissimo in cui è uniforme e la linea è perpendicolare a esso si ha . Spero di essere stato chiaro perchè per sistemare il problema servono queste cose.
Per come potevi evitare tutto questo se vuoi ti do un indizio...

[arna1998]

Ora dovrei esserci, scrivo la soluzione completa, anche se ho ancora qualche piccolo dubbio...
Iniziamo con il dire che ogni lastra genera un campo elettrico uniforme, che non dipende dalla velocità perché in ogni punto la carica è sempre la stessa in ogni istante, quindi possiamo trattare le lastre come immobili.
Consideriamone una sola: per simmetria il campo è perpendicolare alla lastra. Calcoliamo il flusso su un parallelepipedo di base , non appoggiato sulla lastra, ma messo in modo di avere le due basi in parti opposte della lastra. Si tratta quindi calcolare il flusso attraverso soltanto le due basi: per la legge di Gauss. Quindi il campo è: .
La lastra muovendosi genera anche un campo magnetico. Se la guardiamo perpendicolarmente alla direzione della velocità e si sta muovendo verso destra allora il campo sarà entrante. Calcoliamone l'intensità, seguendo in parte ilragionamento del mio post precedente e l'aiuto di Andrea:

Sapendo che , e che :

Sappiamo inoltre che è la densità di corrente e quindi

Consideriamo due porzioni di lastra unitarie(sempre su suggerimento di Andrea):
Una altra attrae l'altra per gli effetti elettrici con una forza di intensità:


Allo stesso tempo respinge l'altra con una forza dovuta al campo magnetico che ha stessa direzione di , ma verso opposto (se le altre si muovo nello stesso verso):


Siccome le due lastre devono rimanere alla stessa distanza:


Il risultato non dipende dalla densità di carica La cosa è un po' strana, quindi ho il dubbio di aver sbagliato qualcosa...
Bisognerebbe dire anche che ogni punto ha la stessa carica quindi le forze agiscono allo stesso modo e possiamo estendere il ragionamento, dato che abbiamo considerato soltanto una superficie unitaria.

[sall96]

E ci possono andare veramente a questa velocita' le lastre?

[andrea96]

Allora il risultato ti viene giusto... ma per caso! infatti ci sono 4 errori! il primo ( che è il più evidente ) lo hai fatto nel calcolare il campo elettrico: il flusso attraverso la faccia del parallelepipedo che si trova fuori è nullo quindi quel fattore non ci va.
L'altro errore (analogo) è nel calcolo del campo magnetico: tu hai calcolato il campo magnetico generato da una lastra infinita e ti viene giustamente indipendente dalla distanza, ma qui ce ne sono due! Per calcolare la forza infatti a te interessano i campi nelle immediate vicinanze di una lastra, e li i campi delle due lastre vanno sommati. In realtà è lo stesso errore che hai fatto nel caso elettrico, quindi, pensa a come potresti calcolare il campo magnetico con qualcosa di simile al teorema di gauss ( chiaramente non il teorema di gauss per la magnetostatica perchè quello serve molto raramente, ma c'è un altro teorema per il campo magnetico... )
Ora ci sono altri due errori che non ti dico per adesso perchè vengono da una cosa molto importante. Ti faccio tre domande per provare a ragionarci da solo: Quanto valgono i campi nello spazio esterno alle due lastre? Perchè per calcolare le forze usi il campo all'interno e non quello all'esterno? Quale dovresti usare REALMENTE?

[andrea96]

E ci possono andare veramente a questa velocita' le lastre?

Si beh poi è quella la questione interessante Prova a calcolarlo con la calcolatrice e vedi se il valore ti ricorda qualcosa...

[arna1998]

Allora il risultato ti viene giusto... ma per caso! infatti ci sono 4 errori!

Mmm non pensavo così tanti L'idea del mio ragionamento era di considerare prima una singola lastra, e calcolarne campo elettrico e magnetico singolarmente, poi vederne gli effetti che aveva sull'altra e bilanciare le forze.
Dato che tu mi hai detto che devo ragionare trovando la somma dei campi generati, provo a mettere un po' a posto tutto...

Il campo elettrico che si viene a formare è nullo esternamente alle lastre, mentre ha intensità doppia di quello generato da una singola tra le due:
e

Mi sono reso conto che i due campi magnetici sono opposti, perché la densità che si muove in una lastra è di segno opposto all'altro. Quindi (non ne sono sicuro) credo che sia lo stesso che per il campo elettrico, ovvero:
e

pensa a come potresti calcolare il campo magnetico con qualcosa di simile al teorema di gauss ( chiaramente non il teorema di gauss per la magnetostatica perchè quello serve molto raramente, ma c'è un altro teorema per il campo magnetico... )

Credo che tu ti riferisca alla legge di Ampere. Ne avevo letto da qualche parte un po' di tempo fa, e prima di iniziare questo problema l'avevo riguardata un po' perché pensavo che poteva tornarmi utile nel problema, ma non ero riuscito a farci nulla, perché probabilmente sbaglio ad usarla o non ho capito qualcosa

Ora ci sono altri due errori che non ti dico per adesso perchè vengono da una cosa molto importante. Ti faccio tre domande per provare a ragionarci da solo: Quanto valgono i campi nello spazio esterno alle due lastre? Perchè per calcolare le forze usi il campo all'interno e non quello all'esterno? Quale dovresti usare REALMENTE?

Ora che ho scritto i campi totali e non più quelli di una singola lastra, non so quali scegliere, esterni o interni
Mi verrebbe da risponderti che realmente uso quelli interni perché se no non viene il problema, ma non è una risposta molto sensata... Ci penso ancora un po' su

E ci possono andare veramente a questa velocita' le lastre?

Si beh poi è quella la questione interessante Prova a calcolarlo con la calcolatrice e vedi se il valore ti ricorda qualcosa...

Ho fatto il conto e viene , quindi le lastre non possono muoversi a questa velocità perché è la velocità della luce! Molto interessante

[Pigkappa]

Ho fatto il conto e viene , quindi le lastre non possono muoversi a questa velocità perché è la velocità della luce! Molto interessante

Era da qualche giorno che aspettavo che finalmente arrivaste a questo risultato , finalmente ci siamo!

Adesso, fate il problema nel modo furbo . Supponete si muovano alla stessa velocita', mettetevi nel sistema di riferimento in cui sono ferme, e traete le conclusioni.

Domanda bonus (potrebbe essere molto difficile): calcolate la forza sulle lastre in funzione della densita' di carica e della velocita' con i due metodi, e assicuratevi che venga uguale.

[non vi scordate di calcolare il campo magnetico anche con il teorema di Ampere, e' istruttivo anche quello]

[andrea96]

Adesso, fate il problema nel modo furbo . Supponete si muovano alla stessa velocita', mettetevi nel sistema di riferimento in cui sono ferme, e traete le conclusioni.

Beh in effetti era per questo che avevo messo questo problema... spesso i collegamenti tra elettromagnetismo e relatività non si trattano a scuola però secondo me sono importantissimi... bello questo problema vero??