La risposta mi è stato detto che è corretta, quindi scrivo un abbozzo di soluzione:
Il problema fondamentale è ricreare il potenziale
sulle superfici cilindriche perchè per il teorema di unicità (qui non so perfettamente quello che sto dicendo, mi è stato detto che è vero per l'equazione di Laplace, in questo caso comunque funziona
) basta trovare una distribuzione di carica che permette tale situazione per essere sicuri che il campo elettrico esterno alle superfici cilindriche sia anche quello richiesto dal problema, che risulta univocamente determinato.
A intuito uno pone a distanza
in maniera totalmente simmetrica due distribuzioni lineari di densità di carica lineica
, per trovare il potenziale nel piano cartesiano
,
(rendo noto che ho disposto le linee di carica lungo la direzione
). Integrando il campo elettrico per entrambe le distribuzioni e sommando algebricamente abbiamo i due termini all'infinito che si semplificano e otteniamo:
^2+y^2}{(a-x)^2+y^2} \right)}{4 \pi \varepsilon_0})
Ponendo l'argomento del logaritmo pari ad una costante
tale che
per tutti i punti
)
nel nostro piano che individuano una circonferenza di raggio
traslata di
rispetto all'asse
(utilizzando la definizione di
data nel problema) otteniamo i valori necessari di
e di
e verifichiamo che i filamenti sono interni ai cilindri. Grazie al valore di
otteniamo il flusso
del campo elettrico attraverso le superfici cilindriche per unità di lunghezza con il teorema di Gauss.
Abbiamo inoltre le relazioni
dove
è la densità di corrente per unità di superficie. E' facile quindi intuire che
dove
è la corrente per unità di lunghezza uscente dai cilindri.
Legando queste informazioni con la prima legge di Ohm e ricordando che la differenza di potenziale è in realtà
otteniamo il risultato soprascritto.
):
