b) Fare la stessa cosa ma con tre masse e tre molle.
c)domanda extra,super impossibile ( non mi aspetto che qualcuno la faccia ma la metto giusto per completezza ): trovare i modi normali nel caso generale di N masse e N molle.
[Hint]: Se
26: oscillatori su un cerchio
26: oscillatori su un cerchio
a) Due masse identiche sono vincolate a muoversi su una circonferenza e sono collegate tra loro con due molle identiche con lunghezza nulla a riposo che seguono il profilo della circonferenza. Trovare i modi normali di oscillazione, cioè le situazioni in cui entrambe le masse oscillano alla stessa frequenza.
b) Fare la stessa cosa ma con tre masse e tre molle.
c)domanda extra,super impossibile ( non mi aspetto che qualcuno la faccia ma la metto giusto per completezza ): trovare i modi normali nel caso generale di N masse e N molle.
[Hint]: Se
è una matrice e 
un vettore che non può essere nullo, allora se vale la relazione 
allora non può essere invertibile perchè se lo fosse si potrebbe moltiplicare entrambe i membri per la sua matrice inversa e ottenere 
.
b) Fare la stessa cosa ma con tre masse e tre molle.
c)domanda extra,super impossibile ( non mi aspetto che qualcuno la faccia ma la metto giusto per completezza ): trovare i modi normali nel caso generale di N masse e N molle.
[Hint]: Se
Re: 26: oscillatori su un cerchio
Aaaallora...
Fissiamo le posizioni d'equilibrio in due punti opposti della circonferenza e, detti
e 
gli spostamenti lungo la circonferenza (supponiamo antiorari), si ha:
=0)
)
Da cui:
e,
 +2\omega^2(x_1-x_2)=0)
dove 
Integrando la prima abbiamo:
Provando una soluzione esponenziale la seconda diventa
funzione esponenziale di variabile complessa random che posso aggiustare con una funzione trigonometrica del tipo:
)
.
Quindi, riscrivendo, per si ha:
)
e per
)
.
Quindi i modi normali sono:
)
)
Fatemi sapere se è giusta e se lo è scrivo i calcoli del caso di tre masse
Comunque 1) Come diavolo si scrivono le matrici in Latex?
Comunque 2) Per il caso di tre masse a me non serve nessuna matrice per i coefficienti, ho sbagliato i conti?
Fissiamo le posizioni d'equilibrio in due punti opposti della circonferenza e, detti
Da cui:
Integrando la prima abbiamo:
Provando una soluzione esponenziale la seconda diventa
Quindi, riscrivendo, per
e per
Quindi i modi normali sono:
Fatemi sapere se è giusta e se lo è scrivo i calcoli del caso di tre masse
Comunque 1) Come diavolo si scrivono le matrici in Latex?
Comunque 2) Per il caso di tre masse a me non serve nessuna matrice per i coefficienti, ho sbagliato i conti?
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: 26: oscillatori su un cerchio
Attento c è un errore nelle prime due equazioni... potrebbe essere che fai lo stesso errore nel caso a tre...
Il caso a due anch io lo risolvo senza usare matrici però nel caso a tre un altro modo non lo trovo... prova a capire qual è l errore e poi vedi se correggendo hai bisogno di usare matici
Il caso a due anch io lo risolvo senza usare matrici però nel caso a tre un altro modo non lo trovo... prova a capire qual è l errore e poi vedi se correggendo hai bisogno di usare matici
Re: 26: oscillatori su un cerchio
Effettivamente ero indeciso e non sapevo se mettere 
o 
. Questo intendevi, giusto?
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: 26: oscillatori su un cerchio
esatto! ti spiego il motivo che è fondamentale per fare il resto ( altrimenti ti vengono sempre equazioni sbagliate ): diciamo chebogcal11 ha scritto:Effettivamente ero indeciso e non sapevo se mettere
è importante fare questo ragionamento per non cadere nell errore di mettere
Poi per la questione dell'utilizzo o meno della matrice: gia nel caso a due puoi trovarti la frequenza sia utilizzando la matrice si non utilizzandola, solo che nel caso a due è molto semplice non utilizzarla; chiaramente i sistemi che ti vengono sono sempre sistemi che hanno un incognita in più delle equazioni ( ci sono tutte le ampiezze dei moti e c'è la frequenza mentre le equazioni sono tante quante le masse ) che quindi sono in linea di principio irrisolvibili, ma, il fatto che funziona il metodo con la matrice implica che c'è una delle variabile che può essere trovata con delle manipolazioni algebriche come si fa nel caso a due, solo che quando salgono le variabile è molto più difficile farlo; se riesci a farlo va bene però secondo me è una buona cosa imparare quel metodo. Poi ad esempio nel caso generale ( che ai fini della staffetta non è richiesto ) è assolutamente necessario applicare quel metodo.
Re: 26: oscillatori su un cerchio
Sisi, infatti non avevo messo il 
ma le equazioni erano del tipo:
+k(x_1-x_3)=0)
però mi ero fatto trascinare dal fatto che sommando le tre equazioni iniziali venisse qualcosa di carino e facendo la differenza a due a due usciva comunque qualcosa di lavorabile! (Forse ) Per questo avevo pensato di poter evitare la matrice (anche perché non conoscevo il metodo)
Grazie mille per la dritta
però mi ero fatto trascinare dal fatto che sommando le tre equazioni iniziali venisse qualcosa di carino e facendo la differenza a due a due usciva comunque qualcosa di lavorabile! (Forse
) Per questo avevo pensato di poter evitare la matrice (anche perché non conoscevo il metodo)Grazie mille per la dritta
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: 26: oscillatori su un cerchio
Ma quell'equazione è giusta! 
perchè allora nel caso a due ti viene quella sbagliata? se tu nell'equazione corretta per quello a 3 metti 
ti viene l'equazione giusta per il caso a 2
Si anche io avevo provato con somme e differenze solo che essendo tre equazioni è abbastanza impestato, sicuramente un modo c'è (perchè altrimenti non funzionerebbe il metodo della matrice), però non è evidente come nel caso a 2.
perchè allora nel caso a due ti viene quella sbagliata? se tu nell'equazione corretta per quello a 3 metti Si anche io avevo provato con somme e differenze solo che essendo tre equazioni è abbastanza impestato, sicuramente un modo c'è (perchè altrimenti non funzionerebbe il metodo della matrice), però non è evidente come nel caso a 2.
Re: 26: oscillatori su un cerchio
Una piccola svista, diciamo
Con il metodo del determinante mi vengono
(A_1t + A_2); (0,1,-1)B\sin(\sqrt{3}\omega t + \phi) e(1, 0, -1) C\sin(\sqrt{3}\omega t + \phi))
Si fa provando la soluzione esponenziale e ponendo il determinante della matrice dei coefficienti uguale a zero perché a quanto pare nell'algoritmo per trovare l'inversa si divide per il determinante e noi vogliamo una matrice non invertibile (Non chiedetemi altro, è una cosa che ho appena scoperto). Quando hai un po' di tempo mi spieghi in pm che idea c'è dietro per risolvere il determinante nel caso a n masse per favore? Te ne sarei molto grato
Ps: Se volete i conti ve li scrivo più tardi, quando sarò ad un computer e non ad un cellulare e sarò capace di scrivere le matrici in Latex
Con il metodo del determinante mi vengono
Si fa provando la soluzione esponenziale e ponendo il determinante della matrice dei coefficienti uguale a zero perché a quanto pare nell'algoritmo per trovare l'inversa si divide per il determinante e noi vogliamo una matrice non invertibile (Non chiedetemi altro, è una cosa che ho appena scoperto). Quando hai un po' di tempo mi spieghi in pm che idea c'è dietro per risolvere il determinante nel caso a n masse per favore? Te ne sarei molto grato
Ps: Se volete i conti ve li scrivo più tardi, quando sarò ad un computer e non ad un cellulare e sarò capace di scrivere le matrici in Latex
"Io non vi insegno la matematica, vi insegno a vivere"
Re: 26: oscillatori su un cerchio
è giusto puoi andare col prossimo problema!
P.S. non lo abbiamo più detto ma nel caso a due masse la soluzione corretta è che c'è una frequenza nulla ( come in tutti i casi, perchè se le masse vengono messe in moto con la stessa velocità nello stesso verso si ottiene un modo normale ) e l'altra frequenza è
P.S. non lo abbiamo più detto ma nel caso a due masse la soluzione corretta è che c'è una frequenza nulla ( come in tutti i casi, perchè se le masse vengono messe in moto con la stessa velocità nello stesso verso si ottiene un modo normale ) e l'altra frequenza è