sfera carica: potenziale e campo

[phyknight]

Un guscio sferico di raggio ha densità superficiale di carica e ruota a velocità angolare costante.
Trovare i vettori potenziale e campo magnetico che produce ad un punto

Per i più impavidi:calcolare il campo magnetico se al posto di un guscio sferico abbiamo una sfera carica uniformemente con densità di carica per volume .

[andrea96]

ma posso considerare come ipotesi che i campi sono costanti o devo dimostrarlo?

[phyknight]

non dovrebbero essere costanti...se però tu riesci a dimostrare che lo sono, allora metti la dimostrazione perché in quel caso ho sbagliato io

[Simone256]

Ci avrei giurato che fossero costanti... Non possiamo pensarlo come sovrapposizione di correnti costanti che generano campi magnetici costanti? O sto dicendo una cacata... :l

[phyknight]

aspetta!! cosa intendi per costanti? credo di aver capito male la vostra domanda...
i campi sono costanti nel tempo, non lo sono nello spazio
scusate
comunque, i calcoli da fare per questi problemi sono abbastanza assurdi, quindi basta che date la strategia risolutiva...poi se qualcuno vuole farsi tutti i conti non c'è problema

[andrea96]

aspetta!! cosa intendi per costanti? credo di aver capito male la vostra domanda...
i campi sono costanti nel tempo, non lo sono nello spazio
scusate
comunque, i calcoli da fare per questi problemi sono abbastanza assurdi, quindi basta che date la strategia risolutiva...poi se qualcuno vuole farsi tutti i conti non c'è problema

aaaaaaaah appunto! comunque io una strategia risolutiva ce l'ho pero sinceramente i conti mi spaventano parecchio quindi inizio a esportela se il giudizio fosse positivo magari in qualche noiosa ora di italiano a scuola mi faccio anche i conti...
Partiamo dal fatto che essendo il campo elettrico costante NEL TEMPO si ha:

Ora sostituendo a la sua espressione tramite il potenziale vettore si ha:

Ora utilizzando il fatto che ogni funzione ( dove è una funzione scalare ) è un potenziale vettore se lo è possiamo scegliere la divergenza del potenziale vettore come vogliamo ( è un fatto noto che un campo vettoriale è completamente noto se sono note la sua divergenza e il suo vettore in ogni punto dello spazio, ma se si conosce solo la divergenza il campo è completamente indeterminato e questo ci permette di fare una scelta sulla divergenza ), per semplicità scegliamo

Così che la nostra equazione diventa semplicemente:
.
Dopo questa digressione torniamo alla nostra sfera e piazziamo il suo centro nell'origine degli assi e poi scegliamo come asse di rotazione l'asse ( è evidente che non c'è perdita di generalità nel fare questo ). Ora se tagliamo la sfera con piani paralleli al piano notiamo che se un punto sulla sfera giace in tale piano ad un istante giacerà nel piano a tutti gli istante cioè "la velocità di ogni punto sulla sfera non ho componente lungo " e quindi in ogni punto della superficie ;
supponendo per il momento che la distribuzione di carica abbia uno spessore sottilissimo se in un punto della sfera ha velocità allora in quel punto . Da semplici ragionamenti sulla rotazione si può risalire alla funzione e di conseguenza a .
Ora torniamo alla nostra bella equazione

che ci appare così simile all'equazione di poisson

se non fosse per il fatto che mentre e sono funzioni scalari, e sono campi vettoriali; però in realtà la nostra equazioni per il potenziale vettore si può scrivere come
dove
(chiaramente non includo la per i motivi gia detti ) e le due equazioni stavolta sono identiche all'equazione di poisson!!!
Ora se ci fa più comodo potremmo porre "fittiziamente" le funzioni
(senza nemmeno preoccuparci delle dimensioni fisiche tanto alla fine dovremmo rifare la sostituzione) così che sia palese che ci resta da risolvere un problema di elettrostatica, con molti conti perche ritengo che le funzioni non siano affatto semplici, però abbiamo già trasformato la parte concettuale legata all'evidente difficoltà di considerare una sfera carica che ruota, e ci resta solo una parte con molti calcoli.
Tra l'altro se uno è praticamente pazzo può andare a risolvere il problema di elettrostatica che ci è venuto fuori utilizzando la stranota soluzione dell'equazione di piosson:

Chiaramente alla fine bisogna aggiustare la sostituzione fittizia che abbiamo fatto facendone un altra cioè e da mettere apposto qualche costante tra e che uno potrebbe essersi perso per strada...

[andrea96]

aspetta!! cosa intendi per costanti? credo di aver capito male la vostra domanda...
i campi sono costanti nel tempo, non lo sono nello spazio
scusate
comunque, i calcoli da fare per questi problemi sono abbastanza assurdi, quindi basta che date la strategia risolutiva...poi se qualcuno vuole farsi tutti i conti non c'è problema

aaaaaaaah appunto! comunque io una strategia risolutiva ce l'ho pero sinceramente i conti mi spaventano parecchio quindi inizio a esportela se il giudizio fosse positivo magari in qualche noiosa ora di italiano a scuola mi faccio anche i conti...
Partiamo dal fatto che essendo il campo elettrico costante NEL TEMPO si ha:

Ora sostituendo a la sua espressione tramite il potenziale vettore si ha:

Ora utilizzando il fatto che ogni funzione ( dove è una funzione scalare ) è un potenziale vettore se lo è possiamo scegliere la divergenza del potenziale vettore come vogliamo ( è un fatto noto che un campo vettoriale è completamente noto se sono note la sua divergenza e il suo vettore in ogni punto dello spazio, ma se si conosce solo la divergenza il campo è completamente indeterminato e questo ci permette di fare una scelta sulla divergenza ), per semplicità scegliamo

Così che la nostra equazione diventa semplicemente:
.
Dopo questa digressione torniamo alla nostra sfera e piazziamo il suo centro nell'origine degli assi e poi scegliamo come asse di rotazione l'asse ( è evidente che non c'è perdita di generalità nel fare questo ). Ora se tagliamo la sfera con piani paralleli al piano notiamo che se un punto sulla sfera giace in tale piano ad un istante giacerà nel piano a tutti gli istante cioè "la velocità di ogni punto sulla sfera non ho componente lungo " e quindi in ogni punto della superficie ;
supponendo per il momento che la distribuzione di carica abbia uno spessore sottilissimo se in un punto della sfera ha velocità allora in quel punto . Da semplici ragionamenti sulla rotazione si può risalire alla funzione e di conseguenza a .
Ora torniamo alla nostra bella equazione

che ci appare così simile all'equazione di poisson

se non fosse per il fatto che mentre e sono funzioni scalari, e sono campi vettoriali; però in realtà la nostra equazioni per il potenziale vettore si può scrivere come
dove
(chiaramente non includo la per i motivi gia detti ) e le due equazioni stavolta sono identiche all'equazione di poisson!!!
Ora se ci fa più comodo potremmo porre "fittiziamente" le funzioni
(senza nemmeno preoccuparci delle dimensioni fisiche tanto alla fine dovremmo rifare la sostituzione) così che sia palese che ci resta da risolvere un problema di elettrostatica, con molti conti perche ritengo che le funzioni non siano affatto semplici, però abbiamo già trasformato la parte concettuale legata all'evidente difficoltà di considerare una sfera carica che ruota, e ci resta solo una parte con molti calcoli.
Tra l'altro se uno è praticamente pazzo può andare a risolvere il problema di elettrostatica che ci è venuto fuori utilizzando la stranota soluzione dell'equazione di piosson:

Chiaramente alla fine bisogna aggiustare la sostituzione fittizia che abbiamo fatto facendone un altra cioè e da mettere apposto qualche costante tra e che uno potrebbe essersi perso per strada.
Aggiungo anche lo stesso metodo è applicabile anche alla sfera con densità uniforme facendo ancora più calcoli di quelli che vengono fuori per il guscio.

[Pigkappa]

Quello che vuoi chiamate "costante nello spazio" si dice "uniforme"

[phyknight]

Quello che vuoi chiamate "costante nello spazio" si dice "uniforme"

si, scusate, ho confuso io

poi
la soluzione di Andrea è corretta...nel senso che la "base teorica" che porta alla soluzione è corretta
poi fare i conti diventa solo una noia mortale...ma alla fine il risultato è anche accettabile comunque va bene così

[andrea96]

giusto per curiosità: mica puoi postare quanto ti viene il risultato così se dovesse venirmi voglia di fare i conti ho qualcosa con cui confrontarli?