Filo in un campo magnetico

sall96 · Messaggio da **sall96** » 21 nov 2014, 21:58

Nonostante la gara di dicembre sia alle porte il forum e' ancora un po' troppo spento

. Cerchiamo di ravvivarlo un po'

Un filo di forma qualsiasi percorso da una corrente $i$ giace su un piano ortogonale ad un campo magnetico uniforme $B$ . Dimostrare che la forza complessiva che agisce sul filo e' uguale a quella che agirebbe su un filo rettilineo congiungente gli estremi (del primo filo).

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 21 nov 2014, 22:09

molto carino soprattutto per il risultato! non avevo mai pensato che fosse vera questa cosa!

sall96 · Messaggio da **sall96** » 21 nov 2014, 23:28

anche a me e' piaciuto molto

Lasker · Messaggio da **Lasker** » 22 nov 2014, 19:03

Approssimiamo con la precisione voluta la forma assurda del filo come una sequenza di tratti infinitesimi, alcuni paralleli al segmento congiungente gli estremi e gli altri ortogonali ad essi (sperando che si possa fare, altrimenti tutta la fisica studiata a scuola finora è una bugia

). Visto che la forza (infinitesima) agente su un tratto $dx$ è
$d\vec{F}=i\cdot d\vec{x}\times \vec{B}$
La forza totale risultante sarà:
$\displaystyle \vec{F}=\int_{L} i\cdot d\vec{l}\times\vec{B}=\int_{L_x}i\cdot d\vec{x}\times\vec{B}+\int_{L_y}i\cdot d\vec{y}\times\vec{B}=\int_{L_x}i\cdot dx\cdot B+\int_{L_y}i\cdot dy\cdot B$
Dove nell'ultimo passaggio ho tenuto conto del fatto che $d\vec{x}$ e $d\vec{y}$ sono ortogonali a $\vec{B}$ , quindi il seno dell'angolo compreso tra i due vettori è 1.
Visto che sia $i$ che $B$ sono costanti per ipotesi, posso portarli fuori dagli integrali, ottenendo
$\displaystyle F=i\cdot B\cdot\left(\int_{L_x}dx+\int_{L_y}dy\right)=i\cdot B\cdot(L_x+L_y)$
Ma i due estremi sono alla stessa altezza lungo $y$ per la scelta furba del sistema di riferimento, dunque $L_y=0$ e quindi
$\displaystyle F=i\cdot L_x\cdot B$
Che è proprio la forza che agirebbe sul filo rettilineo congiungente i due estremi del filo.

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 22 nov 2014, 19:24

l'idea è giusta però attento ad un "imprecisione" ( se cosi vogliamo chiamarla ) nell'uso dei vettori!
il vettore è $\vec dl$ non $dx$ o $dy$ che sono invece le sue componenti!Quindi i due integrali che tu sommi sono degli scalari il che sarebbe assurdo visto che la forza è un vettore! Il punto sta nel fatto che i due integrali sono le due componenti del vettore forza non vanno sommati algebricamente ! alla fine ti viene bene perchè uno dei due integrali viene zero. Non so se sono stato chiaro... se non hai capito bene ti spiego meglio scrivendo le equazioni...

Messaggio da **OrsoBruno96** » 22 nov 2014, 21:49

Quoto andrea

Se vuoi puoi scrivere
$\displaystyle F_x = iB \int dx = iL_xB$
e $\displaystyle F_y = iB \int dy = 0$
ma scriverlo come lo fai tu sembra che tu stia scrivendo $\displaystyle | \vec F | = F_x + F_y$

per il resto è giusto, ma c'è una dimostrazione più carina che non posso fare a meno di postare

$\displaystyle \vec F = \int d \vec F = \int i d \vec x \times \vec B = -i \int \vec B \times d \vec x = -i \vec B \times \int d\vec x = - i \vec B \times \vec L = i \vec L \times \vec B$
dove ho sfruttato $\displaystyle \int d \vec x = \vec L$ (con L vettore congiungente gli estremi del filo) per metodo punta coda

Lasker · Messaggio da **Lasker** » 22 nov 2014, 21:56

Magari quando imparerò a fare i conti con i vettori ci sarà bel tempo anche qui ad Udine

...

sall96 · Messaggio da **sall96** » 23 nov 2014, 10:40

Tutte giuste

Molto bella quella di Orso Bruno in cui non si devono scomporre i vettori!

Filo in un campo magnetico

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