SNS 1994 n. 5 - Satellite

[Davide90]

A causa di un'esplosione nel reattore che alimenta un satellite in orbita intorno alla Terra, il satellite si spezza in due parti di massa ed . L'energia liberata nell'esplosione è circa una parte su diecimila dell'energia cinetica del satellite e si trasforma nella sua quasi totalità in energia cinetica traslazionale dei due frammenti. Prima dell'esplosione l'orbita del satellite era approssimativamente circolare con raggio , dove è il raggio della Terra ed . Si supponga, come schematizzazione semplificativa, che su ciascun frammento non agisca alcuna forza di attrito se è "fuori dell'atmosfera": , ove R è la distanza dal centro della Terra ed ; mentre se un frammento raggiunge l'atmosfera, , questo lo fa precipitare verso la Terra.
Sapendo che la massa iniziale del satellite è di 10 tonnellate e facendo l'ipotesi che corpi con massa più piccola di un quintale che cadono attraverso l'atmosfera vengono da questa totalmente vaporizzati prima di raggiungere la superficie terrestre, si dica per quali valori del rapporto uno dei due
frammenti del satellite può colpire la superficie della Terra, nel caso in cui l'esplosione acceleri i frammenti tangenzialmente all'orbita del satellite.

Vorrei confrontare i risultati con quelli che avete trovato voi (se lo avete fatto anche voi)...
Prima di postare il procedimento, scrivo i risultati...
Prima ho calcolato, con conservazione quantità di moto/energia cinetica e relazione forza gravitazionale/centripeta, i valori di per cui i due frammenti si assestano su orbite fuori dall'atmosfera e quindi non cadono sulla Terra:

Dunque gli intervalli per cui c’è qualche frammento che va a colpire la Terra sono i complementari di questo intervallo; ma in questi casi

quindi il frammento si squaglia prima di toccare Terra.
In altre parole, l’energia liberata dall’esplosione è troppo scarsa per dare velocità rilevanti ai due frammenti se questi sono circa uguali: solo se uno dei due frammenti è molto piccolo, per la conservazione della quantità di moto ha una velocità abbastanza elevata per assestarsi su un’orbita vicina alla Terra, ma in quel caso ha massa troppo piccola per toccare Terra. L'altro invece, essendo massiccio, ha velocità bassa e dunque si assesta su un orbita ad un raggio 10000 volte più grande di quello iniziale.

Secondo voi può funzionare? Se nessuno ha già provato a farlo posterò anche il procedimento…

[Ippo]

io l'ho fatto tempo fa, può darsi che abbia sbagliato i conti (non me ne stupirei più di tanto) ma risultava anche a me che non è possibile che un frammento arrivi a terra. Dovrei rifarlo...

[Davide90]

Allora andrà bene, dai...
All'inizio avevo fatto i conti dimenticando il che dice il testo e per la Terra erano cavoli amari, poi scrivendolo ho corretto e mi viene così.

[String]

Prima ho calcolato, con conservazione quantità di moto/energia cinetica e relazione forza gravitazionale/centripeta, i valori di per cui i due frammenti si assestano su orbite fuori dall'atmosfera e quindi non cadono sulla Terra:

Ma sbaglio o l'energia cinetica in questo caso non si conserva?

[mrossi]

Infatti io non ho capito esattamente come va interpretato il testo:

L'energia liberata nell'esplosione è circa una parte su diecimila dell'energia cinetica del satellite e si trasforma nella sua quasi totalità in energia cinetica traslazionale dei due frammenti.

Questa decimillesima parte va aggiunta all'energia cinetica totale?

[Davide90]

Questa decimillesima parte va aggiunta all'energia cinetica totale?

No, io l'ho interpretato come: l'energia cinetica totale dei due frammenti dopo l'esplosione è un decimillesimo dell'energia cinetica iniziale del satellite. Quindi , dove 1 e 0 indicano dopo e prima dell'esplosione.

[String]

Però il testo dice che quella parte su dicemila dell'energia iniziale rappresenta l'energia liberata dall'esplosione e quindi non può essere l'energia cinetica totale...

[Loren Kocillari89]

Allora andrà bene, dai...
All'inizio avevo fatto i conti dimenticando il che dice il testo e per la Terra erano cavoli amari, poi scrivendolo ho corretto e mi viene così.

Come lo hai risolto?

[eli9o]

Secondo me va sommata all'energia meccanica totale.
Ma quell'energia da dove viene? Cioè cos'era prima dell'esplosione? Energia potenziale che faceva stare insieme i 2 pezzi?

[CoNVeRGe.]

A me viene che il pezzo arriva sull'atmosfera (cioè poi a terra) se , mentre per pesare almeno un quintale deve essere , quindi l'intervallo richiesto è il primo.
Poichè c'è simmetria vale anche il viceversa, ovvero e , dunque se l'intervallo totale è:



I frammenti arriverebbero entrambi a terra .

Ho considerato un aumento di energia cinetica totale, il che mi sembra l'interpretazione più ragionevole del testo.

Dopo spiego come ho fatto