18: acqua in un recipiente

[andrea96]

metto un problema parecchiò più facile degli ultimi perchè in questo momento ho un vuoto mentale e non mi vengono in mente bei problemi difficili ( non mi sembra il caso di mettere problemi contosi ) che non siano o ipho o ammissione a sns.


Determinare che forma deve avere un recipiente a simmetria cilindrica per fare in modo che se sul fondo c'è un foro di piccola dimensione ( cioè in modo tale da non dover considerare vortici o altri fenomeni brutti ) e mettiamo dell'acqua nel recipiente, il livello diminuisce a velocità costante.

[Simone256]

il livello diminuisce a velocità costante.

Intendi l'altezza del liquido giusto?
Prima che per caso mi metto a fare cose senza senso

[andrea96]

sisi! la distanza tra foro e superficie dell'acqua

[sall96]

Provo a dare la mia soluzione (sperando sia giusta)
sia
l'area del recipiente all'altezza
la velocita' di discesa del altezza (costante per ipotesi)
la sezione del foro da cui esce l'acqua
la velocita' di uscita del liquido dal foro

inoltre so che perche' la portata e' costante e per Bernoulli che si semplifica in

sostituisco della prima equazione nella seconda ed ottengo . Queste grandezze sono tutte costanti tranne e quindi la sezione del recipiente ha equazione con un parametro.

[andrea96]

la soluzione e non è corretta! rigurdati bene quali sono le ipotesi del teorema del bernoulli e controlla se qui sono rispettate...
se vuoi ti spiego in messagio privato qual'è il tuo errore ( se lo spiegassi qui darei un indizio troppo grande a chi vuole risolvere il problema... )

[sall96]

Grazie, domani riprovo se proprio non ci cavo niente ti mando un messaggio

[andrea96]

Devo fare una precisazione perchè mi sono accorto che per come ho scritto il testo si può creare un incomprensione: il foro è da considerarsi piccolo per non creare quei brutti fenomeni, ma abbastanza grande in modo che la velocità di fuoriuscita si confrontabile con la velocità di discesa del livello. Il risultato cambia sensibilmente ( e in quell'altro caso è abbastanza banale...).
Anzi fate proprio conto che io non abbia scritto "piccolo" scusatemi...

[poor]

Ho visto per caso il problema perchè ho poco tempo per il forum. Mi sembra insidioso e non facile. Applicando l'equazione della portata e la conservazione dell'energia applicata all'unità di massa mi verrebbe una sezione A(x)=F.radice quadrata di (1+2gx/vzeroquadrato), dove x è la quota, F l'area del foro che si suppone circolare come A(x) data la simmetria cilindrica e vzero la velocità costante di abbassamento del liquido. E' una specie di imbuto che comincia da F con la concavità verso il basso. Naturalmente il raggio della sezione cresce come la radice quarta di (1+2gx/vzeroquadrato). Il risultato mi pare diverso da quello di Sall per cui la sezione diminuirebbe con la quota se ho ben capito in modo un pò improbabile.... Concettualmente però mi pare la stessa cosa a parte il suo errore tecnico nel calcolo di A(h)?

[andrea96]

Innanzi tutto mi scuso con tutti quello che hannk tentato di risolvere il problema, perchè l ho postato dopo che io lo avevo fatto di fretta e non mi ero assicurato che la mia soluzione fosse corretta
In realtá io conoscevo il problema nel caso di foro piccolo e pensavo si potesse estendere al caso generale senza troppe difficoltà matematiche.
Poi analizzando il grafico della mia soluzione mi ono accorto che era parecchio strano allora ho ricontrollato il tutto e mi sono accorto che purtroppo avevo fatto un errore, e cercando di corregerlo mi sono accorto che il problema era parecchio più difficile di quello che pensavo, soprattutto dal punto di vista della matematica: vengono fuori derovate parziali, derivate totali di funzioni do due variabili, e l equazioni finale che mi viene ( quella che dovrebbe darmi la sezione in funzione della quota ), è un equazione differenziale non lineare che non riesco a risolvere nemmeno con wolfram.... quindi magari qui si puo continuare a discutere del problema ( che poi in realtá è parecchio bello e parecchio interessante ) peró penso sia il caso che riguardo la staffetta posto un altro problema....
Quindi quando arrivo a casa metto un altro problema per la staffetta e qui si puo discutere del problema....