Un piccolo
fornito si può scrivere come:
dove
è il calore molare a volume costante.
Per trovare il calore molare del processo:
lo sappiamo ed è
poichè il gas è biatomico.
Calcoliamo
col la pessima analisi che conosco:
poichè per una legge facile da dimostrare che ora non scrivo si ha
si ha (elevando al cubo) che
con
una costante (nella condizione di equilibrio della pellicola di sapone). Ossia
con
sempre una costante a caso diversa da quella di prima. Ora
e derivando si ottiene qualcosa come
. Poichè
si ha che
.
Sostituendo nell'espressione di
si ottiene
.
Per le oscillazioni considero un quadratino di superficie
di apertura angolare rispettivamente
e
. I processi interni li considero isotermi visto che gli scambi di calore con la pellicola non fanno variare la temperatura del sapone in maniera non trascurabile (capacità termica molto alta) e visto che l'equilibrio con questa temperatura avviene quasi subito.
Chiamiamo
la variazione di raggio della bolla e determiniamo la forza della tensione superficiale che agisce su di esso, la pressione che agisce su di esso e la sua area in modo da trovare la forza che agisce dall'interno.
1) la forza della tensione superficiale è
=4 \sigma (r+x) d\theta d\phi)
il quadratino individuato dagli angoli avrà i lati di
d\theta)
e
d\phi)
; la forza per unità di lunghezza è data da
volte la tensione superficiale visto che sono due le superfici della bolla (interna e esterna); in più dobbiamo trovare solo la componente radiale di tale forza perchè quella tangenziale si annulla... A voi verificare che la formula scritta sopra sia giusta perchè scriverlo qui risulterebbe incomprensibile senza una figura
2) La pressione interna sarà di
=\frac{p_0}{(1+\frac{x}{r})^3})
dove
è per
(
).
Questo deriva dalla trasformazione isoterma interna e quindi
^3/3=4 \pi p_0 r^3/3)
.
3) l'area del quadratino in questione sarà
 d\theta \cdot (r+x) d\phi)
. Da cui
=r^2(1+\frac{x}{r})^2 d\theta d\phi)
.
La massa del quadratino sarà
 \rho h=r^2 \rho h d\theta d\phi)
. Questo perchè anche se aumenta il raggio avremo un assottiliamento dello spessore. Quindi mantenendo costanti gli angoli la massa sarà costante.
Ricaviamo ora l'accelerazione della superficie in funzione di
:
=-\frac{F(x)-p(x)A(x)}{m}=-\frac{4 \sigma (r+x) d\theta d\phi-\frac{4 \sigma}{r(1+\frac{x}{r})^3} \cdot r^2(1+\frac{x}{r})^2 d\theta d\phi}{r^2 \rho h d\theta d\phi}=-\frac{8 \sigma x}{h \rho r^2})
Dove nell'ultimo passaggio si è utilizzato
^{-1} \sim 1-\frac{x}{r})
visto che le oscillazioni saranno piccole.
Questo è un moto armonico da cui si ricava facilmente la pulsazione:
.
I calcoli saranno sbagliati? Possibile... Ora però meglio non starci troppo a pensare e inviare subito che mentre scrivevo sta soluzione il computer si è bloccato 3 volte e se mi cancella tutto sto lavoro gli do fuoco
)
vorrei capirci qualcosa!
