Alla faccia del problema difficile, ho visto più integrali qui che nel resto della mia vita LOL
Ho avuto seri casini con gli integrali tripli, mi sono anche fatto aiutare da wikipedia, ma spero di non scrivere troppe baggianate
partiamo con le cose semplici: scegliamo un riferimento comodo
Ci mettiamo con r = 0 nel punto in cui si trova m
ora, il campo gravitazionale è un vettore, il che complica un po' le cose, perchè quando devo fare la somma devo fare una somma vettoriale, che è piuttosto fastidiosa
assumo come ipotesi (perchè non ho voglia di cercare una spiegazione sensata e perchè altrimenti sarebbe troppo complicato
) che la massa da modellare venga fatta a simmetria cilindrica
mettiamoci quindi in un riferimento con l'asse di simmetria del coso che passa per l'origine del riferimento stesso
pubblico anche una immagine molto scrausa fatta con paint tanto per capire come mi sono posizionato
ora, prendiamo una piccola massa dm
adesso cerchiamo di capire come posizionare la massa in modo da ottimizzare il tutto
dunque, se io mi muovo lungo una superficie con
, il contributo di ogni dm è lo stesso. quindi, devo cercare di mettere la massa in modo che a sia più grande possibile
abbiamo tuttavia la limitazione del volume: sappiamo che
ma
quindi
ma
quindi
^{3/2} d(cos\theta))
dove ho integrato in r in modo definito sostituendolo con a e dove ho sostituito sin x dx con d(cosx) perchè poi integro con meno fatica
conti....
quindi
^{-2/3})
che è il valore che devo sostituire per ottenere il raggio giusto quando integro dopo per ottenere g
ora, visto che gli integrali non ci sono bastati, integriamo ancora
che sostituendo dV come sopra diventa
)
sono stufo di copiare integrali quindi scrivo il risultato
^{1/3})
domani mi interrogano su hegel quindi lascio perdere il confronto con la massa sferica che sicuramente non è il grosso del problema. attendo risposta su quello che ho scritto.
il secondo però mi sembra parecchio interessante ed ora ci sbatto un po la testa 
