Induzione in una barra metallica.

[Simone256]

Si consideri un campo magnetico confinato in un volume cilindrico di raggio . Una barra metallica di lunghezza sia collocata come in figura e varia con derivata .
Dimostrare che la f.e.m. indotta fra le estremitá della barra è:

[andrea96]

allora ci provo...
il campo elettrico indotto non è conservativo, di conseguenza il lavoro tra due punti dipende, oltre che dai due punti, anche dal percorso, per questo va calcolato lungo la barra, e non lungo altri percorsi che congiungono i due estremi. Tuttavia resta piuttosto difficoltoso calcolarlo direttamente, quindi usiamo un artificio: sappiamo calcolare, grazie alla legge di faraday-lenz-neumann in forma integrale, le circuitazioni lungo percorsi chiusi che fanno da contorno a superfici su cui sappiamo calcolare il flusso magnetico e la sua derivata temporale, i due percorsi che ci interessano sono tutta la circonferenza, e quello che passa per la barra e torna al punto di partenza passando sull arco piu corto, che chiameremo per comodità arco . Più avanti si capirà perchè proprio questi due percorsi...
Allora partiamo dal secondo: detto l'angolo che sottende la corda , si vede con semplici passaggi di geometria, che la parte di piano, che chiameremo , compreso tra la corda suddetta e l'arco ha area , allora il flusso lungo questo percorso sarà
e la circuitazione lungo quel percorso sarà

Questa quantità è però uguale alla somma dove è il lavoro della carica unitaria lungo l'arco ; è quindi necessario calcolare quest'ultimo.
A tale scopo consideriamo il percorso lungo tutta la circonferenza, il flusso su questa sarà
e la circuitazione lungo tutta la circonferenza sarà

Ma la componente del campo elettrico indotto lungo la tangente alla circonferenza è indipendente dal punto per ragioni di simmetria, di conseguenza vale la proporzione:

Che implica:

Di conseguenza facendo la sottrazione tra e , viene:

C.V.D.

[Simone256]

Per me è ottimo!

[andrea96]

mentre facevo la dimostrazione però a me è sorto un dubbio esistenziale....:
se il campo all esterno della circonferenza non è nullo, la dimostrazione vale comunque perchè a me sembra che in nessun passagio ho utilizzato il fatto che il campo all esterno sia nullo ( deve solo essere simmetrico rispetto al centro della circonferenza per far si che valga quella proporzione ). Ora, se il campo all esterno mantiene la simmetria ed è limitato non c'è nessun problema, perchè quella circonferenza continua ad avere un significato particolare: infatti è l'unica circonferenza centrata nel centro della distribuzione che ha per corda; ma se il campo è illimitato, la formula per la forza elettromotrice indotta continua a valere,... ma è assurda!!!! infatti non ha più un significato particolare poichè la distribuzione non ha più un centro e sono infinite le circonferenze che hanno come corda e rispetta al cui centro la distribuzione è simmetrica. Quindi nel caso di distribuzione infinita la formula sembra valida per qualsiasi , il che è assurdo!!! come si spiega secondo te questo??

[Simone256]

Ci ho pensato e ancora non riesco a trovare una risposta convincente
L'unica che mi viene è che il campo magnetico infinito in un certo senso non funziona... Però boh davvero!! Prima o poi il campo avrà fine e questo nega la simmetria un po' più estesa! Questa è una risposta possibile anche se sono convinto che sia errata!!! Spesso in fisica si portano i concetti al limite di infinito facendo tornare i perfettamente i conti
Hai qualche idea migliore?

[andrea96]

anche io avevo pensato alla stessa identica cosa! l'unica soluzione possibile sembra essere che non può esistere un campo illimitato! però è vero anche che come dici tu matematicamente dovrebbe tornare!!!!!
E secondo me la situazione è anche più complicata di quella che sembra: infatti se il campo è molto molto esteso e la lunghezza della barra è trascurabile rispetto alle dimensioni del campo, se usiamo circonferenze con raggio confrontabile con la situazione matematicamente è ben approssimata considerando il campo infinito, che quindi diventa un caso reale; ed è vero che non sono tutti i valori di a dare una buona approssimazione, ma più il campo è esteso più sarà ampio l'intervallo di valori che dovrebbero approssimarlo bene! E si cade di nuovo in un assurdo ma questa volta reale!!!!
Continuerò a pensarci se mi viene in mente qualcosa te lo dico

[Simone256]

Continuerò a pensarci se mi viene in mente qualcosa te lo dico

Idem

[andrea96]

non sono ancora arrivato a una conclusione, però ragionando mi sono venute in mente alcune cose che credo possano avvicinarci alla soluzione del dilemma; le scrivo perchè magari a te dalle mie considerazioni viene in mente qualcosa che non è venuto in mente a te...
allora innanzi tutto il paradosso è " ancora più paradossale " di quello che abbiamo gia detto:
infatti se il campo ha estensione infinita, e varia con derivata , il campo elettrico indotto non può avere componenti nel piano perpendicolare a e di conseguenza ogni percorso, chiuso o aperto che sia, deve avere una lavoro elettrico nullo su di esso. Infatti se in un punto qualsiasi di un piano perpendicolare alle linee di campo magnetico ci fosse un campo elettrico con componente sul piano non nulla, se ruotiamo di un angolo qualsiasi deve ruotare dello stesso angolo anche la componente di sul piano, il che è assurdo perchè il campo è totalmente simmetrico rispetto a rotazioni.
Come conseguenza di ciò, c'è il fatto che la forza elettromotrice indotta tra gli estremi della nostra barra, deve essere rigorosamente nulla se il campo ha dimensioni infinite!!!!!!!!
Tuttavia il calcolo che ho fatto la f.e.m indotta nel caso del problema sembra continuare a valere anche se il campo è illimitato. Quindi non solo la cosa è assurda perchè quella formula sembra essere valida con infiniti valori di , ma anche perchè quella formula dovrebbe dare sempre ma cosi non è!
Avevo poi pensato che questa serie di assurdità riguardanti questo problema potrebbero nascere dal fatto che le linee di campo magnetico devono essere chiuse, però non riesco ancora a capire come questo possa influire....

[Simone256]

non sono ancora arrivato a una conclusione, però ragionando mi sono venute in mente alcune cose che credo possano avvicinarci alla soluzione del dilemma; le scrivo perchè magari a te dalle mie considerazioni viene in mente qualcosa che non è venuto in mente a te...
allora innanzi tutto il paradosso è " ancora più paradossale " di quello che abbiamo gia detto:
infatti se il campo ha estensione infinita, e varia con derivata , il campo elettrico indotto non può avere componenti nel piano perpendicolare a e di conseguenza ogni percorso, chiuso o aperto che sia, deve avere una lavoro elettrico nullo su di esso. Infatti se in un punto qualsiasi di un piano perpendicolare alle linee di campo magnetico ci fosse un campo elettrico con componente sul piano non nulla, se ruotiamo di un angolo qualsiasi deve ruotare dello stesso angolo anche la componente di sul piano, il che è assurdo perchè il campo è totalmente simmetrico rispetto a rotazioni.
Come conseguenza di ciò, c'è il fatto che la forza elettromotrice indotta tra gli estremi della nostra barra, deve essere rigorosamente nulla se il campo ha dimensioni infinite!!!!!!!!
Tuttavia il calcolo che ho fatto la f.e.m indotta nel caso del problema sembra continuare a valere anche se il campo è illimitato. Quindi non solo la cosa è assurda perchè quella formula sembra essere valida con infiniti valori di , ma anche perchè quella formula dovrebbe dare sempre ma cosi non è!
Avevo poi pensato che questa serie di assurdità riguardanti questo problema potrebbero nascere dal fatto che le linee di campo magnetico devono essere chiuse, però non riesco ancora a capire come questo possa influire....

Esattamente a questo stavo pensando ieri sera! Quindi sembra generare assurdi il campo magnetico infinito e uniforme!!! Perchè automaticamente non andrebbe daccordo con la legge di faraday... E se fosse grosso grosso comunque il piccolo neo all'interno della simmetria apparente genera la diversitá a seconda dell'R scelto. Tutto ció però sembra davvero assurdo! E su internet riguardo a questo non ho ancora trovato niente