Filo a zigzag con corrente

[Triarii]

Un filo elettrico di lunghezza $l=1m$, perfettamente flessibile, è attaccato coi suoi estremi ai punti A e B fissi su un piano orizzontale ed è percorso da una corrente $I$. Il filo è libero di muoversi sul piano, ma non può accavallarsi. La distanza fra A e B è piccola rispetto a $l$. Come si disporrà il filo se si accende un campo magnetico di $1T$ uscente dal piano e perpendicolare a questo? Se il filo si rompe se sottoposto ad una forza di $100N$, qual è la corrente limite che può sopportare?

[Simone256]

Supponiamo WLOG che la corrente scorra da A a B.
Sappiamo che su ogni tratto infinitesimo di filo agisce una forza magnetica ; questo piccolo tratto descriverà un arco di raggio e sarà sottoscritto da un angolo , e sarà sottoposto ad una tensione costante su tutto il filo. Analizzando le forze tangenziali abbiamo che le due tensioni sono ovviamente uguali e opposte quindi all'equilibrio la forza magnetica dovrà avere componente tangenziale nulla: quindi . All'equilibrio radiale la forza generata dalla tensione è uguale e contraria a quella magnetica; ciò ci fa dedurre che la forza magnetica agirà sempre in direzione centrifuga (in parole povere la forza magnetica tende a spingere via l'archetto verso l'esterno mentre la tensione lo tiene fermo). Considerando le forze in direzione radiale abbiamo:
;
.

All'equilibrio si ha . Quindi il raggio è costante e il filo si disporrà a forma di arco di circonferenza.
Se la distanza tra A e B è molto piccola rispetto a (così ho interpretato poi se ho sbagliato correggimi che proverò a rifarlo ) possiamo assumere L'arco di circonferenza proprio una circonferenza da cui: .
Sostituendo si ottiene:
;
e:
.

[Triarii]

In teoria credo che se la corrente scorra dall'altra parte il filo si aggrovigli invece di formare una circonferenza.
Per la seconda parte anche a me viene esattamente come te, tuttavia nelle soluzioni l'autore del libro mette roba diversa, che tuttavia mi sembra se non errata, quantomeno fumosa... Infatti assume che sul tratto elementare di filo agiscano 3 forze magnetiche agli estremi, che mi pare strano...

[andrea96]

io con un metodo diverso (e un po più complicato perchè passa per equzioni differenziali), che non è ne quello di simone ne quello del libro sono arrivato anch io allo stesso risultato, e da lì si vede benissimo che l'unica posizione di equilibrio per il filo è la circonferenza dalla parte in cui puntano i vettori forza. ti dico l'unica perchè la soluzione dell'equazione differenziale è UNICA! anche se la corrente poi scorre nel verso opposto il filo si disporrà come una circonferenza, magari passando per posizioni in cui il filo si sovrappone a se stesso, ma arriverà sempre a quella posizione di equilibrio perchè la fasi di aggrovigliamento non sono posizioni di equilibrio, cioè agisce una forza sul filo che alla fine lo porta a formare la circonferenza.

[Simone256]

In teoria credo che se la corrente scorra dall'altra parte il filo si aggrovigli invece di formare una circonferenza.

La situazione non sarebbe di totale simmetria?

Per la seconda parte anche a me viene esattamente come te, tuttavia nelle soluzioni l'autore del libro mette roba diversa, che tuttavia mi sembra se non errata, quantomeno fumosa... Infatti assume che sul tratto elementare di filo agiscano 3 forze magnetiche agli estremi, che mi pare strano...

Potresti postarla così magari proviamo a ragionare sulla soluzione proposta?

[Triarii]

Avevo pensato che nell'altro caso il filo si aggrovigliasse perchè, siccome la parte che esce dal foro a sinistra tende ad andare verso destra e viceversa, esiste almeno un punto in cui i fli si aggrovigliano, e per come avevo interpretato il testo a quel punto il filo non si sposta più (cioè non riesce a scavallare l'atro filo: ovviamente se potessero passare attraverso l'un l'atro, un po' come la materia di cui sono fatti gli oggetti in topologia, credo proprio che avresti ragione tu).

Il resto della soluzione fa così (l'immagine è in allegato, che già mi fa sorgere diversi dubbi):
"La tensione su ogni elemento del filo è determinata dalla proiezione delle forze agli estremi dell'elemento lungo il dl e vale
dT=Fd\theta, che per il legame tra forza e corrente diventa [anche qui, come abbia fatto il dl a diventare l mi risulta misterioso].
Considerando che \theta varia tra 0 e 2\pi, la tensione totale a cui è sottoposta il filo è ..."
e poi va avanti col porla uguale alla tensione limite e a ricavare i.