Atomo di idrogeno (Halliday)

[Hartler]

L'atomo di idrogeno si può considerare come composto di un protone centrale dotato di carica puntiforme e una carica elettronica negativa distribuita attorno al protone con una densità volumica . Qui rappresenta una costante, è il cosiddetto raggio di Bohr ed è la distanza dal centro dell'atomo.

a) Trovare il valore di A tenendo conto del fatto che l'atomo è neutro.
b) Calcolare il campo elettrico generato dall'atomo alla distanza pari al raggio di Bohr.

Io avevo provato ad impostare il problema considerando solo la carica negativa e cercando di calcolarne l'integrale entro il raggio. Mi sono accorto che però non viene dato nessun raggio, devo utilizzare un integrale improprio da 0 a + infinito, immaginando così l'atomo infinitamente grande?

Se faccio in questo modo alla fine il punto a) esce, ma quando cerco di calcolare la carica negativa contenuta entro con una proporzione mi esce (ovviamente) uguale a 0

Consigli?

[andrea96]

per il primo punto ritengo sia assolutamente corretto il tuo ragionamento ( non solo perchè ti esce: lo avevo pensato prima di leggere che avevi svolto cosi il problema ) perchè mi sembra che un modello del genere sia un modello intermedio tra uno classico e uno quantistico, infatti in un modello classico tutta la carica negativa sarebbe stata ad una ben determinata orbita, mentre in uno quantistico avremmo avuto una distribuzione di probabilità in un volume infinito! cioè si avrebbe una probabiltà di trovare l'elettrone a qualsiasi distanza anche se ovviamente più si esce dal cosiddetto "raggio atomico" più la probabiltà diventa pressochè zero. in questo caso invece non abbiamo nessuno dei due casi, ma abbiamo una distribuzione di densità di carica che diminuisce con l'aumentare della distanza, un pò come la probabilità nel modello quantistico: tutto questo per arrivare a dirti che nel modello c'è una densità anche a distanze infinitamente grandi, bensì questa sia prossima a zero quindi è corretto integrare tra zero e infinito.
per il secondo punto: come fa a uscirti zero?! l'atomo complessivamente è neutro quindi visto che fuori dal raggio di bohr c'è della carica, all'interno del raggio c'è un eccesso di carica positiva che puoi calcolarti per differenza una volta aver calcolato la carica negativa all'interno semplicemente integrando la dansita tra e . in questo modo puoi semplicemente applicare il teorema di gauss utilizzando una sfera centrata nel protone e trovi il campo cercato...

[andrea96]

per il primo punto ritengo sia assolutamente corretto il tuo ragionamento ( non solo perchè ti esce: lo avevo pensato prima di leggere che avevi svolto cosi il problema ) perchè mi sembra che un modello del genere sia un modello intermedio tra uno classico e uno quantistico, infatti in un modello classico tutta la carica negativa sarebbe stata ad una ben determinata orbita, mentre in uno quantistico avremmo avuto una distribuzione di probabilità in un volume infinito! cioè si avrebbe una probabiltà di trovare l'elettrone a qualsiasi distanza anche se ovviamente più si esce dal cosiddetto "raggio atomico" più la probabiltà diventa pressochè zero. in questo caso invece non abbiamo nessuno dei due casi, ma abbiamo una distribuzione di densità di carica che diminuisce con l'aumentare della distanza, un pò come la probabilità nel modello quantistico: tutto questo per arrivare a dirti che nel modello c'è una densità anche a distanze infinitamente grandi, bensì questa sia prossima a zero quindi è corretto integrare tra zero e infinito.
per il secondo punto: come fa a uscirti zero?! l'atomo complessivamente è neutro quindi visto che fuori dal raggio di bohr c'è della carica, all'interno del raggio c'è un eccesso di carica positiva che puoi calcolarti per differenza una volta aver calcolato la carica negativa all'interno semplicemente integrando la dansita tra e . in questo modo puoi semplicemente applicare il teorema di gauss utilizzando una sfera centrata nel protone e trovi il campo cercato...

[Hartler]

Ora che ci penso non sono sicuro del punto a), perchè a me esce mentre nella soluzione del libro la e non è scritta in corsivo e dovrebbe quindi rappresentare il numero di Nepero, non la carica.
Inoltre per il punto b), chiamando la carica per evitare impicci, si ha che:



E quindi
Facendo i vari conti con Gauss che non è il risultato esatto:

Quindi alla fine anche seguendo il tuo ragionamento che mi sembra funzionare, non si trova! Non riesco a capire se l'errore l'ho fatto nel punto a), quella e non capisco perchè non sia riferita alla carica

[andrea96]

guarda io non so tu come hai fatto i calcoli e io non li ho fatti... però al punto a) visto che tu devi porre un integrale indipendente dalla carica elementare uguale alla carica elementare per trovarti A, nel risultato non può scomparire la dipendenza dalla carica elementare... quindi creo proprio che il tuo risultato sia corretto.
per il secondo punto il metodo è corretto, quindi se hai fatto bene i calcoli il risultato che ti viene fuori dovrebbe essere giusto, se è diverso da quello del libro probabilmente avrà sbagliato il libro... però attenzione a una cosa: io non so tu come hai svolto i calcoli, il metodo più rigoroso possibile che quindi non lascia dubbi sarebbe quello di fare un integrale triplo della distribuzione di densità su tutto il volume, poi io non so e tu conosci\hai dimostrato un altro calcolo EQUIVALENTE a questo sfruttando il fatto che la distribuzione ha una simmetria particolare ( in poche parole dipende solo dalla distanza dal centro ). quindi mi viene il dubbio che potresti aver impostato un integrale "sbagliato", poi non so...

[Hartler]

Ho riprovato ancora ma mi esce quel 5 in più e non saprei proprio perchè.. l'integrale che ho impostato è:

che è lo stesso integrale usato nel punto a), solo che adesso conosco la densità volumica..

Integrali tripli sono ostrogoto per me..c'è qualche errore in questa formula?

[andrea96]

il problema è che tu per scrivere quell'integrale hai dato per scontato che si possa utilizzare la relazione che discende dalla formula del volume di una sfera. Però non è affatto scontato utilizzare una relazione del genere in sostituzione ad un integrazione su un volume! non ti sto dicendo che la formula è sbagliata, semplicemente andrebbe dimostrata o per lo meno giustificata. Certo, il fatto che nel punto a) porti alla soluzione corretta potrebbe far pensare che è giusta e che il libro abbia sbagliato il risultato del punto b) , però non lo darei per certo: potrebbe essere che con il metodo rigoroso si ottenga lo stesso risultato per il primo ma non per il secondo. Se avessimo a che fare in entrambe i casi con quantità finite questo sarebbe assurdo, ma visto che non primo caso abbiamo a che fare con un volume infinito, potrebbe anche essere così...

[OrsoBruno96]

l'integrale impostato da Hartler mi sembra giusto. Io ho integrato per parti e mi viene fuori il risultato del libro, quindi ti consiglio di rifare i conti

Per andrea: la giustificazione della formula si fa così
"visto che il problema ha simmetria sferica, la carica contenuta in una superficie gaussiana sferica centrata nell'origine dipende solo dal suo raggio.

per ottenere dV, prendiamo due sfere, di raggio r e r+dr e facciamo la differenza dei volumi, in modo da ottenere un guscio sferico in cui la densità è costante perchè dr tende a 0
;
quindi

visto che stiamo facendo , i termini dr^2 e dr^3 sono assolutamente trascurabili e li puoi ignorare
quindi ti rimane che è il risultato corretto

[andrea96]

Per andrea: la giustificazione della formula si fa così
"visto che il problema ha simmetria sferica, la carica contenuta in una superficie gaussiana sferica centrata nell'origine dipende solo dal suo raggio.

per ottenere dV, prendiamo due sfere, di raggio r e r+dr e facciamo la differenza dei volumi, in modo da ottenere un guscio sferico in cui la densità è costante perchè dr tende a 0
;
quindi

visto che stiamo facendo , i termini dr^2 e dr^3 sono assolutamente trascurabili e li puoi ignorare
quindi ti rimane che è il risultato corretto

ti dico quello che ho detto anche ad hartler in conversazione privata... ragionamenti come questo sono delle buone "giustificazioni" della formula più o meno qualitative che convincono che la relazione sia corretta e che quindi ne esista una dimostrazione... ma non sono dimostrazioni! se tu sai che la relazione è corretta e ti trovi ad una gara o un test di ammissione giustificazioni di questo tipo ti assicurano senza dubbio il punteggio pieno al problema e quindi vanno benissimo... ma io non sapendo che la relazione è corretta, sulla base di "giustificazioni" non avrei mai scommesso una mano sulla correttezza della formula! (non so se ti ho reso l'idea di quello che voglio dire )
comunque ho fatto anche una dimostrazione rigorosa di quella formula che quindi non lascia più nessun dubbio.
riguardo l'integrale hai ragione! ho riguardato i calcoli e mi sono reso conto di aver fatto un errore stupidissimo! (nell'integrazione per parti avevo valutato l'integrale nei limiti solo dopo aver fatto tutti gli integrali indefiniti e non volta per volta)
facendo i calcoli corretti viene il risultato del libro

[Pigkappa]

ma io non sapendo che la relazione è corretta, sulla base di "giustificazioni" non avrei mai scommesso una mano sulla correttezza della formula!

In realtà, penso che troveresti più convincente la giustificazione di OrsoBruno che una dimostrazione formale (che non può non fare uso di strumenti di calcolo integrale a più variabili che con ogni probabilità non conosci).