SNS 2006/2007 n 4

[mrossi]

Un oggetto cilindrico di massa e sezione si muove con velocità parallela al suo asse in un gas di particelle di polvere di massa molto minore di , e numero per unità di volume . Considerando la velocità del moto delle particelle molto minore di , si determini la forza di attrito sul cilindro causata dagli urti contro le particelle di polvere.

Come cambia il risultato se gli urti tra la polvere e il cilindro sono perfettamente anelastici (la polvere si attacca al cilindro) o se sono invece perfettamente elastici?

Si stimi la dipendenza da della forza di attrito se invece la velocità delle particelle di polvere è molto maggiore di .

Grazie mille!!

[spn]

1) Per la legge dell'impulso si può scrivere che



Dove è il numero di molecole con cui il cilindro si scontra in un certo tempo, e la velocità delle particelle dopo lo scontro(approssimando ).

Siccome w>>v allora lo scontro tra le particelle e il cilindro avviene solo nella sezione anteriore, e il numero di particelle che scontrano è :



Inoltre, se l'urto è elastico allora la velocità delle particelle dopo lo scontro è

essendo m<<M



Sostituendo queste due eq. nella prima si ha:



2) Se lo scontro è invece anelastico allora:





3) Per v>>w le particelle si scontrano invece in tutte e due le sezioni del cilindro, percui:



dove è la forza dovuto agli scontri agente sulla sezione anteriore, invece quella agente sulla posteriore.





Inoltre:





ma essendo w<<v e m<<M allora:





Sostituendo queste tre eq. nella prima si ha:



Speriamo bene...

[mrossi]

OK...
Molto chiaro! Grazie Mille!

[eli9o]

@spn: io ho fatto essenzialmente uguale a te poi ho trovato una soluzione che risulta diversa nell'ultimo punto.

Per la faccia anteriore si ha e per la faccia posteriore . Poi le somma e ottiene (che sarebbe quella ottenuta da noi moltiplicata per 2.

Poi, però, spiega: un calcolo più preciso comporta, fissato il valore della velocità , un integrale sull'angolo solido per tener conto dei possibili angoli di incidenza. Il risultato cambia solo di un fattore , ma mantiene la proporzionalità a . Seguirebbe un integrale sulla distribuzione di ma, a patto che sia sempre molto maggiore di per i valori rilevanti nella distribuzione, questo non cambia la proporzionalità a della forza di attrito risultante.

Credo che l'ultima parte non serva ma il fatto è che anche noi abbiamo utilizzato senza tener conto dell'angolo. Per un calcolo più preciso penso che avremmo dovuto usare e dato che la componenti differiscono in modo trascurabile per grande . Poi bisogna dividere per 2 perché a noi interessa solo uno dei due versi. Però utilizzando direttamente come fa lui da dove salta fuori la differenza tra i risultati?

[String]

Inoltre:





ma essendo w<<v e m<<M allora:

Non capisco questo passaggio...Non dovrebbe essere



Quindi dato che si ha

[spn]

Io approssimando ho semplicemente tolto qualsiasi dall'equazione , mentre tu hai lasciato quello tra parentesi, non so se c'è una regola precisa su quale lasciare nell'approssimazione...

Però probabilmente come hai fatto tu è giusto perchè si avrebbe




che porta poi hai risultati della soluzione che ha detto eli9o.

@ eli9o: Penso che il problema, chiedendo una stima, intende di considerare come se tutte le particelle si muovessero lungo la stessa direzione del cilindro, in fondo, come dice la soluzione da te trovata, non differisce poi tanto dal valore che si troverebbe considerando che le particelle si muoverebbero casualmente.

[String]

Io approssimando ho semplicemente tolto qualsiasi dall'equazione , mentre tu hai lasciato quello tra parentesi, non so se c'è una regola precisa su quale lasciare nell'approssimazione...

Secondo me non bisogna fare alcuna approssimazione sulle velocità, perchè altrimenti il risultato non verrebbe in funzione di come richiesto dal quesito. Quando hai scritto l'equazione per le velocità tu hai tolto perchè considerato molto minore di mentre invece quando hai scritto le espressioni per e , non hai fatto alcuna approssimazione...Quindi di regola si deve lasciare sempre...

[spn]

Ma scusa, l'equazione che tu hai usato è pure lei approssimata



Questa dovrebbe essere l'equazione della velocità delle particelle dopo l'urto in un sistema di riferimento in cui cilindro appare fermo e le particelle gli vanno contro con la somma delle velocità. Però se tu dici che è così anche nel sistema di riferimento in cui il cilindro si muove a velocità w, vuol dire che lo stai approssimando.

Penso che se il problema dà la condizione v>>w ci sarà un motivo...

[String]

Però se tu dici che è così anche nel sistema di riferimento in cui il cilindro si muove a velocità w, vuol dire che lo stai approssimando.

Penso che se il problema dà la condizione v>>w ci sarà un motivo...

Ma io infatti non ho detto questo. Quell'equazione si riferisce al sistema di riferimento del cilindro, per cui cioè la sua velocità è nulla e le particelle si muovono con una velocità pari a . La condizione serve per considerare sia gli urti che avvengono sulla faccia anteriore che su quella posteriore.

[spn]

Ok, ma la cosa che mi sembra strana è che sarebbe bastata la condizione .