Tutte le orbite sono circolari?

[Paolo90]

Non riesco a trovare l'errore in questo ragionamento.
Un satellite e' in orbita intorno a un pianeta, sappiamo che si devono conservare momento angolare e energia. Quando si trova all'afelio o al perielio:


Derivando entrambe rispetto al tempo e dividendo tutto per m:




quindi

Che e' la velocita' di un orbita circolare.

[CoNVeRGe.]

Innanzitutto c'è da dire che quel che hai scritto qui ha tutti i prerequisiti per giustificare il risultato ottenuto, ma tuttavia è valido anche nei due punti dell'orbita ellittica che hai detto.
Il punto sbagliato secondo me sta nell'uso della derivata per la conservazione del momento angolare.
Derivando quell'espressione ottieni l'andamento della velocità e della distanza in relazione alle loro variazioni infinitesimali ed è qualcosa di sicuramente sbagliato per l'orbita ellittica dove conta anche l'angolazione.

Riscrivendo le derivate diversamente si ha che in un punto dell'orbita con d', v' e distanza d fissati si ha




Ci si accorge che la velocità è già ben definita, ed è quella del moto circolare uniforme.

Inizialmente quindi hai due espressioni generali valide per due situazioni diverse, ma nel momento in cui derivi ti vai a 'concentrare' sull'andamento istantaneo dell'orbita e dunque la possibilità di ottenere un risultato valido per l'orbita ellittica va a farsi fot.

[Paolo90]

si ma io derivo nel momento in cui il satellite si trova al perielio (o all'afelio), quindi se includi nel momento angolare anche la direzione, quando vai a derivare sparisce perche' c'e' un coseno di un angolo retto.
Il mio ragionamento si concentra su un solo punto dell'orbita, in modo da semplificare i calcoli, pero' non riesco a vedere errori evidenti... d' e v' non sono fissati comunque, semplicemente indifferenti visto che si semplificano. In realta' io li sto supponendo diversi da 0 nel momento in cui li semplifico, pero' a me va bene che siano diversi da zero...

[CoNVeRGe.]

Ma derivando non ti concentri su un punto solo dell'orbita ma su due punti vicinissimi e l'angolazione conta comunque, indipendentemente dalla situazione iniziale. Se la trascuri, nell'istante successivo sei su un'orbita circolare, nel successivo ancora, e cosi via.

[Paolo90]

se , cioe' se il satellite si trova all'afelio o al perielio, L' diventa come ho scritto prima. Quando una derivata di qualcosa e' uguale a zero, vuol dire che quel qualcosa sostanzialmente non cambia per piccole variazioni. Feynman faceva l'esempio di uno che e' in fondo a una conca, facendo un passo non si alza di quasi niente...

[CoNVeRGe.]

Ok, scusa, mi sono accorto solo adesso che ficcando nella derivata pure l'angolo tra i vettori e inserendo i valori in quell'istante si ottiene quel che hai scritto... è stato un bene per me sbattere contro questa cosa.

Mi unisco a Paolo90 in attesa di altri pareri..

[stp]

Sia la velocità angolare. La velocità , scomposta nelle componenti radiale e tangenziale, vale



Il modulo J del momento angolare e l’energia cinetica T sono





Dunque le condizioni (con v = )

valgono solo se d’=0 (nell’espressione di T comparirebbe anche la velocità radiale che invece non ha effetti su J). Allora le equazioni

si riducono in realtà semplicemente a



Vale a dire: nei tratti di orbita attorno ai punti in cui d è minimo o massimo (all’afelio e al perielio), il moto del punto materiale si può approssimare a un moto circolare uniforme che ha per centro il centro di gravità. Naturalmente nel caso di un’orbita circolare d è costante e la condizione d’=0 è sempre soddisfatta.

[Paolo90]

penso si aver capito l'errore: al perielio e all'afelio la distanza d dalla terra e' massima (o minima), mentro la velocita' v e' minima (o massima). Ne consegue che v' e d' sono uguali a zero, quindi non le si puo' semplificare...

[SkZ]

per lo studio del moto centrale e' meglio partire da

e

e poi calcolarsi e , con la condizione che in un moto centrale l'accelerazione e' diretta lungo il raggio.
E' un simpatico e pratico esercizio