il file è troppo pesante
riassumo la mia soluzione omettendo i passagi solo di calcolo tanto quelli puoi vederteli tu, praticamente scrivo i " punti cruciali " del mio svolgimento.
1) allora la parabola può essere parametrizzata e va nella forma P(x) = ( x , a x^2 - h ) ; i parametri si determinano imponendo il passagio per il punto ( L-s , 0 ) e visto che la corda è inestendibile imponendo che la lunghezza dell'arco è 2L.
l'integrale di linea l'ho risolto considerando che la funzione integranda che è rad( 1 + 4 a^2 x^2 ) può essere approssimata a 1 + 2 a^2 x^2 poichè per s<< L , a è molto piccolo e quindi 4 a^2 x^2 << 1.
svolgendo i calcoli viene h= rad [3/2 s( L-s ) ]
2) la densità lineare è p=m/2L ; la derivata dell'energia potenziale rispetto alla lunghezza dl di un tratto di filo é:
dU/dl = pg (h + a x^2 -h ) e visto che dl = 1 + 2 a^2 x^2 dx allora dU = p g a x^2 ( 1+ 2 a^2 x^2) dx
integrando tra -(L-s) e L-s e sostituendo ad a l'espressione trovata nel punto 1 si ottiene U= mg/L [ h/3 (L-s) + 2/5 h^3 /(L-s) ]
3) la forza applicata dai chiodi ha la direzione tangenziale alla corda nel punto dove essi sono fissati ed è diretta verso l'alto, calcolando la derivata della parabola in quel punto di ottiene ( detto b l'angolo formato con l'orizzontale perchè la tastiera non ha lettere greche
) b= arctg ( 2h/ (L-s) ).
la somma delle due forze deve essere uguale a mg, visto che le componenti parallele all'orizzontale sono uguali e contrarie si ha 2F sen b = mg quindi F= mg/ (2senb)
