Problema 3, gara di 2° livello 2007

[String]

Un certo condensatore piano quando le sue armature sono isolate in aria ha capacità C. Se fra le armature si inserisce un materiale conduttore di resistività il dispositivo presenta fra le due armature resistenza .
1) Si esprima in funzione di .

Nel seguito del problema sarà utile sapere che il risultato appena trovato è vaildo per qualsiasi condensatore. In molte applicazioni della tecnica è importante conoscere la resistenza elettrica di un certo terreno e per tale motivo si procede alla determinazione della sua resistività.

Un metodo per farlo consiste nell'affondare nel terreno due elettrodi di metallo di forma sferica, A e B, curando che la terra vi aderisca bene. La distanza fra A e B è abbastanza grande da poter considerare il diametro degli elettrodi trascurabile rispetto ad essa. Ciascun elettrodo è collegato ad un lungo filo metallico opportunamente rivestito con materiale isolante. Procedendo nella misura della resistività del terreno i capi dei conduttori affondati in terra vengono collegatii ad un generatore di data forza elettromotrice e nel circuito così formato si inserisce un amperometro così da misurare la resistenza presentata ai capi dei due elettrodi.
Le resistenze interne del generatore e dell'amperometro sono considerate trascurabili così come quella dei fili conduttori.

2) Si trovi una relazione fra la resistività del terreno in esame, le caratteristiche date e la resistenza misurata fra gli elettrodi.

[CoNVeRGe.]

fatto il primo punto, al secondo non capivo come utilizzare il fatto che il diametro è trascurabile rispetto alla distanza..
ci ho scapocciato un po (sono poco pratico coi condensatori ) anche dopo aver visto la soluzione.. (non ho tuttora capito molto il calcolo della d.d.p. (del valore di 8 punti ))

alla fine sono cmq arrivato allo stesso risultato senza utilizzare però nessuna approssimazione

è necessario che il diametro sia trascurabile?

[String]

Io ho fatto solo il primo punto, al secondo mi esce una soluzione diversa da quella riportata nelle soluzioni, che però non riesco bene a comprendere...

alla fine sono cmq arrivato allo stesso risultato senza utilizzare però nessuna approssimazione

Mi faresti vedere il tuo procedimento?

[CoNVeRGe.]

ho utilizzato la formula precedentemente trovata:

calcolando V come la differenza tra i potenziali del primo e del secondo piatto, calcolati rispetto ad un punto a distanza infinita:

[String]

Beh, in realtà così stai implicitamente supponendo che la distanza fra i due conduttori sia abbastanza grande da essere trascurata. Se così non fosse infatti ognuno dei due conduttori sferici risentirebbe anche del campo prodotto dall'altro, e non solo dal proprio, no?

[CoNVeRGe.]

Beh, in realtà così stai implicitamente supponendo che la distanza fra i due conduttori sia abbastanza grande da essere trascurata. Se così non fosse infatti ognuno dei due conduttori sferici risentirebbe anche del campo prodotto dall'altro, e non solo dal proprio, no?

non ti so rispondere.. potresti spiegare cosa succederebbe con il risentire del campo prodotto dall'altro?

le armature del condensatore sono collegate ad un generatore quindi la d.d.p. tra di esse non dovrebbe essere fissa?

[String]

non ti so rispondere.. potresti spiegare cosa succederebbe con il risentire del campo prodotto dall'altro?

In realtà non lo so...però sicuramente l'effetto cambierebbe se i due conduttori fossero più vicini...
Penso che tutto dipenda da quel calcolo della ddp dal valore di 8 punti nelle soluzioni ufficiali, e che non abbiamo capito...
Qualcuno che ci illumini?

[Bolzo88]

Penso di aver capito l'obiezione di String, provo a formularla meglio.

1) Supponiamo innanzitutto che la carica si distribuisca in maniera uniforme sulle superfici sferiche A e B, cioè che, almeno per quanto riguarda la distribuzione di carica, le due sfere non si influenzino l'una con l'altra (e già per questo mi serve supporre ). Questo fatto mi permette di calcolare il campo (e quindi il potenziale) generato da ciascuna delle sfere come quello di una carica puntiforme.

2) A questo punto calcolo effettivamente la differenza di potenziale che c'è tra le due superfici sferiche A e B. Questo significa fare l'integrale del campo elettrico tra due punti sulle due superfici sferiche A e B.
Il campo elettrico è dato però dalla somma dei campi generati dalle due sfere:

Posso dunque calcolare la differenza di potenziale come la somma di quella dovuta al campo e quella dovuta al campo :

Dove le differenze di potenziale sono intese tra il punto A e il punto B (posti a distanza uno dall'altro).
Calcoliamo :

Calcoliamo :


Abbiamo dunque:

che nell'approssimazione vale:



Il procedimento di CoNVeRGe non funziona (anche se in questo caso il risultato torna) perchè è giusto sommare (o sottrarre, se si scambia l'ordine dei punti A e B) le differenze di potenziale generate da ogni singola sfera. Le differenze di potenziale, però, sono tra le due armature del condensatore, e non tra un'armatura e l'infinito. Poi nel caso di possiamo approssimare la differenza di potenziale tra A e B a quella tra A e l'infinito.

Spero di essere stato chiaro.

[CoNVeRGe.]

capito il mio errore, tutto chiaro

ti ringrazio di avermi tappato una 'buca'