Macchinina in un imbuto

[Simone256]

Una macchinina di massa è all'interno di un imbuto che ruota attorno al proprio asse verticale con frequenza . La parete dell'imbuto forma un angolo con il piano orizzontale. La macchinina è orientata in modo che le ruote inducano la macchinina a seguire una traiettoria circolare orizzontale all'interno dell'imbuto. La macchinina si trova ad una distanza dall'asse dell' imbuto e il coefficiente di attrito statico tra le ruote e la parete interna dell'imbuto è .
1) Determinare il massimo e il minimo valore di affinché la macchinina continui a muoversi sulla sua traiettoria orizzontale rispetto all'imbuto.
2) Se al posto della macchinina all'interno dell'imbuto ci fosse una massa e gli altri parametri fossero invariati determinare il massimo e il minimo valore di affinché la massa rimanga ferma rispetto all'imbuto.

[gilgamesh]

...attorno al proprio asse verticale con frequenza ...

Inizialmente ho avuto qualche dubbio se volevi scrivere "velocità angolare " oppure "frequenza " (lo so, che noia queste convenzioni, ma così ci capiamo meglio ) ed ho optato per la seconda.
Ponendo l'asse inclinato di un angolo rispetto alla direzione orizzontale ed il verso positivo verso l'alto ottengo:





Affinchè si ottenga un equilibrio la somma delle forze agenti sul corpo dev'essere nulla. Per cui mediante qualche calcolo si ottiene





Si tratta dei valori minimi e massimi in quanto .

Questo per quanto riguarda il secondo punto..per il primo non ho ancora le idee molto chiare !

[Simone256]

Concordo sulla notazione... La metteva così il libro da dove ho preso il problema quindi mi sono limitato a fare "copia e incolla"
In ogni caso:

non è forse...




Non sono sicuro... alla fine ho aggiunto la frazione e ho invertito con
Per quanto riguarda il primo è una stupidata... Al posto della massa abbiamo una macchinina ma il risultato è identico visto che ci interessa che non si muova verso l'alto o verso o il basso! Questi sono sempre risultati miei quindi meglio non fidarsi troppo

[Simone256]

Ne approfitto per fare un'altro quesito:

Perché quando si mescola il the in una tazzina facendo girare il cucchiaino i residui dei biscotti "pucciati" si radunano verso il centro?

[gilgamesh]

non è forse...

Si , inizialmente avevo svolto il problema considerando la velocità angolare, quindi volendo quelli scritti da me sono i massimi ed i minimi valori di velocità angolare , ora correggo

[gilgamesh]

Ne approfitto per fare un'altro quesito:

Perché quando si mescola il the in una tazzina facendo girare il cucchiaino i residui dei biscotti "pucciati" si radunano verso il centro?

Credo che si possa modellizzare il problema supponendo di avere un recipiente pieno di thè che ruota attorno al proprio asse principale : su un corpo (il biscottino pucciato) , così come su ogni di liquido, agiscono la forza centrifuga e la forza peso*. La risultante della forza peso e centrifuga su di una massa di liquido deve essere diretta perpendicolarmente al fluido, altrimenti l'elemento di liquido scorrerebbe indisturbato. Da ciò si deduce che la superficie del fluido è equipotenziale ed è schematizzabile con una parabola.

Se si considera una particella di biscotto pucciato in rotazione, essa è soggetta ad una forza centrifuga verso l'esterno del recipiente che è data da dove è la densità del biscotto e il suo volume. Inoltre vi è una forza esercitata dal fluido sull'oggetto immerso.
Tale forza è data da ed è diretta verso il centro, dove è la densità del thè.
Per cui, se , il biscotto tenderà verso il centro del vortice dove si verrà a trovare in una condizione di equilibrio stabile.

C'è dunque da supporre che, se nel thè è presente un corpo che inizialmente (in uno stato di quiete) affonda , quest'ultimo, una volta generato il vortice, si ritroverà lungo le pareti del recipiente che contiene il liquido.

*Trascurando ogni tipo di attrito.

[Simone256]

Inoltre vi è una forza esercitata dal fluido sull'oggetto immerso.
Tale forza è data da ed è diretta verso il centro, dove è la densità del thè.

Perdona l'ignoranza ma devo ancora rivedermi bene i fluidi... Questa deduzione che hai fatto deriva dal semplice fatto che visto che un volume V di biscotto esercita una forza su un volume V di fluido allora il volume V di fluido esercita una forza sul volume V di biscotto?

C'è dunque da supporre che, se nel thè è presente un corpo che inizialmente (in uno stato di quiete) affonda , quest'ultimo, una volta generato il vortice, si ritroverà lungo le pareti del recipiente che contiene il liquido.

Non sono certo ma domani mattina provo... Le bricioline di solito sono sul fondo eppure convergono tutte verso il centro...

Comunque grazie

[gilgamesh]

Perdona l'ignoranza ma devo ancora rivedermi bene i fluidi... Questa deduzione che hai fatto deriva dal semplice fatto che visto che un volume V di biscotto esercita una forza su un volume V di fluido allora il volume V di fluido esercita una forza sul volume V di biscotto?

Credo che per semplicità (non me ne volete se dico boiate) tale forza può essere vista come una specie di "spinta di archimede": è il fluido circostante il corpo immerso che esercita su di esso una forza che sarebbe nulla se il corpo avesse la stessa densità del liquido stesso(ho parlato prima di superficie equipotenziale). Si tratta di una forza di pressione diretta verso l'asse di rotazione del recipiente considerato .

Non sono certo ma domani mattina provo... Le bricioline di solito sono sul fondo eppure convergono tutte verso il centro...

Comunque grazie

se è per questo ci sono anche dei pezzetti che vagano a "mezza altezza" (nè sul fondo ne in superficie) che rimangono addensati tra le pareti del recipiente ed il centro della tazza. Chiaramente il mio è un modello di un fenomeno fisico che presuppone non poche semplificazioni più o meno influenti sul risultato finale !