[SNS 2007-2008 P.2] Una catapulta

[gilgamesh]

Una catapulta ha due bracci e due masse alle estremità tali che . La catapultà è inizialmente a riposo in posizione orizzontale, come in figura, e può ruotare senza attrito attorno al suo perno. La massa più piccola e il proiettile che si sgancia quando viene bloccata la catapulta.



(a) Si trovi la velocità e l'accelerazione del proiettile in funzione dell'angolo di rotazione della catapulta, finché questo resta agganciato al suo braccio.

(b) Se la catapulta viene bloccata a un certo angolo si trovi il tempo di volo del proiettile se il perno è a un'altezza dal terreno. SI trascuri l'attrito dell'aria.

(c) Trascurando le dimensioni della catapulta si trovi la gittata orizzontale del proiettile.

(d)Si trovi la gittata massima e il corrispondente angolo di lancio. Qual è la massa più grande che si può lanciare a distanza ?

(e) si calcoli la reazione sul perno durante la rotazione.

Questo problema è stato già trattato sul forum delle olimpiadi di matematica, tuttavia non in modo completo. Dato che ci sono un pò di ragazzi in questo periodo che postano problemi SNS e SSSUP...
posto di seguito i miei risultati:

(a.1)

(a.2)

(b) una cosa assurda se considero "le dimensioni della catapulta", atrimenti qualcosa di più semplice

(c)

(d.1)

(d.2) Basta sostituire l'angolo nell'equazione che dà la gittata

(d.3)

(e)

[bozzio]

Per il punto a) penso ti sei scordato un 2 sotto radice (sarebbe l'1/2 dell'energia cinetica).
Per il punto b) non ho capito bene cosa intendi.
Per il punto c) hai imposto la conservazione dell'energia per calcolarti la massima altezza y e poi l'hai sostituita all'equazione dei moti su asse x e y per trovare la distanza in funzione dell'angolo?

[gilgamesh]

Si non avevo trascritto un 2 sotto radice, corretto subito (potrebbe mancare anche più avanti, rivedrò i risultati ).

Per quanto riguarda il punto b, si tratta di un moto che si può descrivere tramite le seguenti equazioni:


basta porre e sostituire a il valore della velocità che assume il proiettile se la catapulta viene bloccata con un angolo

Per il punto c bisogna trascurare "le dimensioni della catapulta" , io l'ho inteso così:



come se il proiettile partisse da terra. Pertanto trovo il tempo di caduta dalla seconda equazione e sostituisco nella prima per trovare la gittata.

[bozzio]

Per il punto c) mi chiedevo se dovevi aggiungere anche il tempo di ricaduta nell'equazione del moto, io l'ho fatto (supponendo che si trovasse ad un'altezza L da terra come nel punto due) e viene un'equazione più bruttina. Che ne pensi?

[gilgamesh]

Per il punto c) mi chiedevo se dovevi aggiungere anche il tempo di ricaduta nell'equazione del moto, io l'ho fatto (supponendo che si trovasse ad un'altezza L da terra come nel punto due) e viene un'equazione più bruttina. Che ne pensi?

Viene un'equazione parecchio più bruttina, comunque io ho interpretato appunto quel "trascurare le dimensioni della catapulta" come un invito ad eliminare quell'addendo dall'equazione. In un primo momento avevo inteso come trascurare "le dimensioni dell'asta che compone la catapulta", e quindi sarebbe stato come dici tu, ma credo che sia sbagliato...

[bozzio]

E allora devi trascurare solo il termine e ottieni

[gilgamesh]

E allora devi trascurare solo il termine

non ho capito cosa rappresenta questo termine

[bozzio]

Si hai ragione ho sbagliato a calcolarlo. Io ho calcolato il tempo che raggiunge l'altezza massima y ed è quello che hai messo tu, poi ho trovato l'altezza massima h rispetto alla posizione di equilibrio della catapulta. A questo punto ti trovi il tempo di ricaduta ponendo . Tu puoi trascurare solo L da quell'equazione e ottieni con

[gilgamesh]

Ora che ci penso trascurare mi sembra la migliore interpretazione. Dunque l'equazione del moto diventa:



il tempo necessario a raggiungere la massima altezza è ,

Tale altezza massima .

Infine in tempo di caduta

per cui il tempo totale

Credo che su questo, salvo una interpretazione errata del testo, possiamo essere d'accordo

[bozzio]

Si perfetto. Ora resta da capire se trascurare solo L o anche , poiché ora che ci penso trascurare le dimensioni sembrerebbe come se la pallina partisse da terra...