Condensatore in acqua

Messaggio da **Rigel** » 2 lug 2009, 16:59

Un condensatore piano carico e isolato è posto in posizione verticale con la base a contatto con un liquido dielettrico.
Determinare l'altezza h raggiunta dal liquido.
Si suppone che la distanza tra le armature è molto minore delle dimensioni lineari del condensatore. Si ignorino dli effetti della capillarità.
Sono noti l'altezza H delle armature, il campo elettrico iniziale tra le armature E, la costante dielettrica relativa del mezzo $\epsilon_r$ e la densità $\rho$ del liquido. Calcolare h per l'acqua ( $\epsilon_r=80$ e $\rho=1 {\rm g/cm^3}$ ), per $E=1,5\cdot10^6 {\rm V/m}$ e per $H=0,5 {\rm m}$

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 2 lug 2009, 19:36

Ci provo...sicuramente è meglio che fare la tesina...

L'energia potenziale gravitazionale accumulata dall'acqua contenuta nel condensatore deve eguagliare l'energia potenziale elettrica.

$U=V \cdot q$

$\displaystyle \frac{1}{2} \rho V g = E \cdot d \cdot q$ dove $d$ è la distanza tra le armature del condensatore

$\displaystyle \frac{1}{2} \rho A d g = E \cdot d \cdot C \cdot V$

$\displaystyle \frac{1}{2} \rho A g = E^2 \cdot d \cdot C$

Calcoliamo ora la capacità del condensatore:

$\displaystyle C=\varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} \frac{h}{H} + \varepsilon_0 \frac{A}{d} \frac{H - h}{H}$

$\displaystyle C=\varepsilon_0 \frac{A}{dH} \left (\varepsilon_r h + H - h \right )$

Da cui:

$\displaystyle \frac{1}{2} \rho A g = E^2 \cdot d \cdot \varepsilon_0 \frac{A}{dH} \left (\varepsilon_r h + H - h \right )$

$\displaystyle \frac{1}{2} \rho g=\varepsilon_0 \frac{E^2}{H} \left ( h(\varepsilon_r - 1) + H \right )$

$\displyastyle h=\frac{H}{\varepsilon_r - 1} \left ( {\frac{\rho g }{2\varepsilon_0 E^2} - 1} \right )$

commento: risultato poco plausibile...cercasi errore

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 2 lug 2009, 22:41

A me viene:

$\displaystyle h = - \frac{H}{ 2 (\epsilon_r -1) } + \sqrt{ \left( \frac{H}{2 (\epsilon_r -1)} \right)^2 + \frac{H \epsilon_0 E^2}{ \rho g} }$

Per calcolare h dell'acqua c'è un H o me lo devo ricavare in qualche maniera?

Alex90 ha scritto: $\displaystyle \frac{1}{2} \rho V g = E \cdot d \cdot q$ dove $d$ è la distanza tra le armature del condensatore

Hai saltato una lunghezza al primo membro (h) e mi pare che hai continuato i calcoli senza.

Alex90 ha scritto: ...sicuramente è meglio che fare la tesina...

Oddioooo, cheppallee

Messaggio da **Rigel** » 3 lug 2009, 13:53

CoNVeRGe. ha scritto:Per calcolare h dell'acqua c'è un H o me lo devo ricavare in qualche maniera?

Sì ho dimenticato di scrivelo. H è 0,5 m
Puoi scrivere i passaggi?

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 3 lug 2009, 15:03

Legenda:

$\displaystyle l$ : lunghezza del condensatore (cioè la profondità osservando il disegno).

$\displaystyle d$ : distanza fra le armature.

$\displaystyle \sigma$ : densità superficiale di carica.

$\displaystyle m = \rho V_{ol.}= \rho (ldh)$ : massa d'acqua che sale nel condensatore.

$\displaystyle A$ : area della superficie di condensatore.

$\displaystyle X'$ : X nella situazione finale.

pedice $\displaystyle u$ : della parte superiore di condensatore (senza acqua).

pedice $\displaystyle l$ : della parte inferiore di condensatore (con l'acqua).

Per la conservazione dell'energia potenziale (gravitazionale e elettrica) tra la situazione iniziale e quella finale:

$\displaystyle U_g + U_e = U_g' + U_e'$

$\displaystyle U_e = \Delta U_g + U_e'$

$\displaystyle \frac{1}{2} C V^2 = mgy + \frac{1}{2} (C_u + C_l) V'^2$

$\displaystyle \frac{1}{2} C V^2 = \rho ldg \frac{h^2}{2} + \frac{1}{2} (C_u + C_l) V'^2$

Poichè $\displaystyle C = \epsilon \frac{A}{d}$ e $\displaystyle V = Ed$ , allora la conservazione diventa:

$\displaystyle \frac{1}{2} \epsilon_0 A d E^2 = \rho ldg \frac{h^2}{2} + \frac{1}{2} (\epsilon_0 A_u + \epsilon A_l) d E'^2$

Poichè $\displaystyle A = Hl$ , $\displaystyle A_u = (H-h) l$ e $\displaystyle A_l = hl$ allora con un po' di semplificazioni:

$\displaystyle \epsilon_0 H E^2 = \rho g h^2 + [H + h(\epsilon_r -1)] \epsilon_0 E'^2$

A questo punto sfruttiamo la conservazione della carica e la relazione tra densità di carica e campo elettrico in un condensatore piano:

$\displaystyle \sigma A = \sigma_u A_u + \sigma_l A_l$

$\displaystyle E' = \frac{\sigma_u}{\epsilon_0} = \frac{\sigma_l}{\epsilon_0 \epsilon_r} \qquad E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$

Da queste si ricava:

$\displaystyle E' = E \frac{H}{H + h (\epsilon_r-1)}$

Sostituendo nella conservazione dell'energia si arriva al risultato che ho scritto sopra (oltre che all'ovvio h=0).

Per le condizioni richieste ottengo $\displaystyle h = 2,9 cm$ , è giusto?

Messaggio da **Rigel** » 3 lug 2009, 18:05

Sì il risultato è giusto e anche i passaggi. Potevi anche risparmiarti un bel pò di calcoli applicando direttamente la conservazione della carica e la formula per l'energia elettrostatica $\frac{Q^2}{2C}$ .
Cosa accadrebbe se il condensatore anzichè essere isolato fosse connesso ad un generatore di f.e.m.?

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 3 lug 2009, 22:29

Rigel ha scritto: Cosa accadrebbe se il condensatore anzichè essere isolato fosse connesso ad un generatore di f.e.m.?

La variazione di energia potenziale elettrica è:

$\displaystyle \frac{V}{2}(Q' - Q)$

Ma poichè $\displaystyle Q' > Q$ (il generatore aumenta le cariche per conservare il campo elettrico anche nella zona con il dielettrico) la variazione è positiva e quindi l'acqua non può trovarsi in equilibrio sopra il livello iniziale. Questo perchè significherebbe una variazione positiva anche dell'energia potenziale gravitazionale e la conservazione energetica non tornerebbe (a meno di altre energie ovviamente).

Rigel ha scritto: Potevi anche risparmiarti un bel pò di calcoli applicando direttamente la conservazione della carica e la formula per l'energia elettrostatica $\frac{Q^2}{2C}$ .

Ammetto di non aver scelto il percorso attentamente ma non mi sembra che i calcoli si sviino (http://www.wordreference.com/conj/ItVerbs.asp?v=sviare lol) molto.

Pairo · Messaggio da **Pairo** » 4 lug 2009, 12:27

Non mi convince tanto l'ultimo post, forse ho capito male io..
Se mantengo connesso il generatore, io continuo a fornire energia al sistema, quindi dovrebbe esserci un continuo aumento del livello del liquido fino a che l'altezza non abbia raggiunto H. L'energia spesa dal generatore si trasforma in energia potenziale dell'acqua e in energia immagazzinata nel campo; visto che il generatore continua a fornire energia non devo preoccuparmi di quanta energia è necessaria per passare dalla prima configurazione alla seconda.

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 4 lug 2009, 13:53

CoNVeRGe. ha scritto: la conservazione energetica non tornerebbe (a meno di altre energie ovviamente).

Ecco, mi ero scordato l'energia spesa dal condensatore.

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