Masse che si scontrano

[Triarii]

Due corpi puntiformi di massa sono inizialmente a riposo a una distanza . Dimostrare che il tempo impiegato per incontrarsi per effetto della forza gravitazionale è dato da

[gilgamesh]

Dunque io inizierei a farmi un'idea sulla forza che agisce sulle due masse (che è evidentemente la stessa in modulo e in direzione):

è la distanza iniziale tra le due cariche. Quel 2x al denominatore sta ad indicare che tanto si avvicina una massa al baricentro del sistema quanto si avvicina la seconda massa al baricentro stesso.
dunque per la seconda legge della dinamica ottengo che l'accelerazione a vale:

Scrivo l'accelerazione come derivata seconda della legge oraria del moto:

a questo punto mi scuso se il procedimento non risulta chiarissimo ma so solo come risolvere semplici equazioni differenziali e per risolvere questa equazione ho dovuto chiedere un aiutino




(anche se si vede poco al primo membro c'è la derivata del quadrato della derivata prima di x che rappresenta la legge oraria)






se si sostituiscono i valori x'=0 e x=0 (in altre parole la condizione di velocità nulla al tempo t=0) si trova che



fai un pò di calcoli e sicuramente ti viene fuori quest'espressione:

dove ho già diviso le variabili. Bè qui si tratta solo di integrare. Derive mi dice:
l'integrale a sx a come estremi 0 e x_0/2 , mentre quello a destra 0 e t

quindi:

[Triarii]

Anche io avevo impostato quella equazione differenziale solo che non sono riuscito a risolverla. Che magari ci sia un modo per farlo senza ricorrere a questi metodi?

[Pigkappa]

Si puó sia risolvere l'integrale a mano (senza Derive...) che risolvere tutto il problema senza usare equazioni differenziali, integrali o derivate.
Nessuna delle due cose è facile, peró...

[Rgk93]

non so se è quello che intende Pigkappa, ma faccio un tentativo:
entrambi i corpi si muovono verso il baricentro a causa della forza di interazione gravitazionale, di modulo:
,
dove r21 è la distanza relativa tra le due masse;
quindi l' accelerazione a delle masse è, in modulo:
;
l' accelerazione relativa a21 di una massa rispetto all'altra è il doppio di tale accelerazione; in modulo:
;
a questo punto, moltiplico e divido per 4, ottenendo:
;
ora, r21/2 è la distanza di entrambe le masse dal baricentro, che chiamo d; ponendo m/2 = m', ottengo:
;
a questo punto ho interpretato così: il moto di una massa verso l' altra è lo stesso moto che farebbe la massa m se ci fosse un corpo fisso di massa m' posto nel baricentro;
in questo modo mi sono ricondotto a un caso in cui si possono usare le leggi di Keplero; in particolare, se il corpo di massa m avesse una velocità infinitesima dv in direzione ortogonale alla congiungente con il baricentro, esso percorrerebbe una traiettoria ellittica molto (infinitamente...?) schiacciata, il cui asse maggiore è ( d/2 );
quindi, per Keplero:

da cui si ricava

il tempo che impiegherebbe m a compiere un quarto di ellisse è T/4; ma questo quarto di traiettoria ellittica molto schiacciata è indistinguibile dalla distanza d/2 che il corpo di massa m deve percorrere per scontrarsi con l' altro; quindi il tempo che cerchiamo è proprio


spero di aver spiegato in maniera comprensibile; ci terrei a sapere se è corretto oppure no, e, se sì, se è proprio il modo che intendeva Pigkappa

[Pigkappa]

Sì, la soluzione è quella!

[Triarii]

Ho provato anche a passare attraverso la conervazione dell'energia, ma viene lo stesso un troiaio
Comunque bella soluzione!

[Rgk93]

grazie!

[Simone256]

non so se è quello che intende Pigkappa, ma faccio un tentativo:
entrambi i corpi si muovono verso il baricentro a causa della forza di interazione gravitazionale, di modulo:
,
dove r21 è la distanza relativa tra le due masse;
quindi l' accelerazione a delle masse è, in modulo:
;
l' accelerazione relativa a21 di una massa rispetto all'altra è il doppio di tale accelerazione; in modulo:
;
a questo punto, moltiplico e divido per 4, ottenendo:
;
ora, r21/2 è la distanza di entrambe le masse dal baricentro, che chiamo d; ponendo m/2 = m', ottengo:
;
a questo punto ho interpretato così: il moto di una massa verso l' altra è lo stesso moto che farebbe la massa m se ci fosse un corpo fisso di massa m' posto nel baricentro;

Perdonatemi se sparo qualche scemata:
Ho letto e ho provato anche a dimostrare che esiste una formula che ho sentito nominare come "terza legge di Keplero generalizzata", dove al posto della massa viene usata la somma delle due masse che interagiscono e viene considerata la loro distanza:
.
Ovviamente nell'ambito del sistema solare (per esempio) quella che chiamiamo è la massa del Sole pertanto la terza legge di Keplero (non generalizzata) è comunque molto precisa data la massa molto grande del Sole rispetto a quella dei pianeti.
Utilizzando questa formula per la risoluzione del problema e seguendo il ragionamento di pensare ad un' orbita molto stretta il risultato mi viene . Che è evidentemente errato.
Quindi vi chiedo, cosa sbaglio? Forse la formula che ho trovato riguarda solo orbite circolari? Ho sbagliato qualche passaggio? La formula ha per caso qualche limite che non conosco?

Per quanto riguarda la soluzione corretta di Rgk93, Non riesco a capire nel passaggio sopra perché consideriamo l'accelerazione relativa tra le due masse; se poi consideriamo un' orbita che ha come centro il centro di massa fermo del sistema non bisognerebbe considerare l'accelerazione effettiva della massa? Ovviamente anche qui mi è sfuggito qualcosa

Grazie

[Simone256]

Ok forse ho capito... Viene analizzato il singolo moto di una massa nel sistema di riferimento dell'altra e ci rendiamo conto che possiamo sostituire la massa "grande" e lontana ad una massa piccola posta nel baricentro del sistema. Quindi il tempo non cambia e possiamo analizzare la situazione seguendo la terza legge di Keplero... E qui ho capito la soluzione corretta
Ora però devo fare chiarezza sui miei errori...