Moto periodico di un elettrone!

[Andrea il Sotty]

Ciao a tutti, mi potreste dare una mano con questo problema?
Un elettrone viene fissato sull'asse centrale di un anello di raggio R e di carica totale q (distribuita uniformemente).
(Il campo generato dall'anello in un punto situato sul suo asse ad una distanza z dal centro dell'anello è

).

Si mostri che la forza elettrostatica esercitata sull'elettrone può farlo oscillare attorno al centro dell'anello con una frequenza angolare di



dove q è la carica dell'anello, ed m è la massa dell'elettrone.

[Triarii]

FORSE sono riuscito a risolverlo, ma ho posto come ipotesi z<<R.
Se non la prendo come ipotesi mi viene una equazione differenziale che non ho la più pallida idea di come risolverla

[Andrea il Sotty]

FORSE sono riuscito a risolverlo, ma ho posto come ipotesi z<<R.
Se non la prendo come ipotesi mi viene una equazione differenziale che non ho la più pallida idea di come risolverla

Sul testo quella ipotesi non era scritta, ma comunque mi sembra ragionevole per l'oscillazione di un elettrone. Potresti spiegarmi per cortesia come hai proceduto per arrivare alla soluzione?
Ti ringrazio moltissimo

[Triarii]

Chiaramente l'elettrone si muove lungo l'asse visto che la componente perpendicolare all'asse è nulla per motivi di simmetria.
Trattandosi del moto di un elettrone, è ragionevole pensare che .
Dimostreremo ora che l'elettrone si muove di moto armonico semplice.
La forza è chiaramente rivolta verso il centro dell'anello inizialmente. Ponendoci in un sistema di riferimento cartesiano con origine nel centro dell'anello e verso positivo "in alto", abbiamo che la forza di attrazione è
con segno negativo
(Dubbio: per e si intende il modulo della carica dell'elettrone oppure questo simbolo già comprende il segno -?)
Nella nostra approssimazione () vale , quindi possiamo scrivere
con la distanza dall'origine.
L'accelerazione è proporzionale allo spostamento ma di segno opposto (non ho incluso il - nella formula proprio per il dubbio che ho espresso sopra, comunque ricordo che e di conseguenza sono quantità negative). L'elettrone si muove quindi di moto armonico semplice.
Dalle formule del moto armonico sappiamo che
da cui che è proprio quello che volevamo dimostrare.

[Andrea il Sotty]

Ciao Triarii, ti ringrazio davvero moltissimo per la tua spiegazione. Ora sono riuscito a capire. A me non era venuta in mente quell'approssimazione, ma credo sia giusto fare come hai fatto tu!
Ciao e grazie mille

[Triarii]

Di nulla
Una curiosità: dove l'hai trovato questo problema?

[Andrea il Sotty]

Il libro in cui l'ho trovato è questo:
Halliday-Resnick-Walker "Fondamenti di fisica - elettromagnetismo" seconda edizione - Zanichelli - ISBN 9788808036292
Io ho l'edizione vecchia del 2002 (penso ne abbiano fatto una di nuova, ma non so se gli esercizi siano esattamente gli stessi). Me l'ha prestato il mio professore di fisica per l'estate, visto che io ho fatto la quarta e perciò a scuola l'elettromagnetismo non l'ho ancora fatto.
Lo sto studiando ed è un libro veramente strutturato bene, almeno rispetto agli altri libri (di liceo) che ho avuto modo di leggere finora. Credo sia il migliore che abbia mai letto, sia per chiarezza sia per profondità di contenuti (molti libri spiegano certi argomenti secondo me in modo troppo superficiale, riduttivo, se non addirittura poco chiaro). Esiste anche la versione universitaria (solo Resnick-Halliday, senza Walker), questo è un po' più semplice ma è comunque davvero un ottimo libro.
Ciao

[Triarii]

Ah ok, il bello è che ce l'ho pure io e qualche esercizio l'ho fatto (e sto facendo visto che anche io passerò in quinta).
Questo però mi era sfuggito

[Pigkappa]

Chiaramente l'elettrone si muove lungo l'asse visto che la componente perpendicolare all'asse è nulla per motivi di simmetria.

Ok, ma adesso chiedetevi: l'equilibrio in direzione trasversale è stabile o instabile?

[Triarii]

Premetto che non l'ho risolto, però qualcosa di utile magari ho trovato.
Osservazioni preliminari.
1) Si ha un equilibrio stabile quano il potenziale è al minimo. Si ha un equilibrio instabile quando il potenziale è a un massimo oppure ha raggiunto un flesso orizzontale.
2) Nella nostra approssimazione . Possiamo quindi supporre che l'elettrone giacca sullo stesso piano dell'anello (questo dovrebbe facilitare i nostri conti) e considerare un piano cartesiano Oxy con l'origine nel centro dell'anello.
3) Ora si potrebbe procedere in 2 modi credo:
a) Ci calcoliamo brutalmente il potenziale integrando per tutte le cariche infinitesimali sull'anello. Il problema è che o ho sbagliato formula oppure mi viene un qualcosa di abbastanza mostruoso, e mi resta ovviamente in funzione di almeno una coordinata (l'altra l'ho settata a 0 per semplificare; dovrebbe essere un passaggio lecito per motivi di simmetria). Ora lo so che poi tanto devo derivare la roba dentro all'integrale, il mio problema è che ho l'integrale in e voglio la derivata in , quindi mi sembra inevitabile dover passare dai conti.
Osservazione basilare sul potenziale. Per motivi di simmetria abbiamo tante circonferenze concentriche equipotenziali attorno (a all'interno) dell'anello (questa forse può essere usata per dare una dimostrazioni più qualitativa ma meno difficile)
b) Ci calcoliamo la componente trasversale del campo e integriamo per ottenere il potenziale (non ho ancora provato)