SNS 2005/2006 Problema 5

djoko92 · Messaggio da **djoko92** » 21 giu 2009, 17:00

Si consideri un trenino elettrico composto da una locomotiva di massa
$m$ posta su un circuito circolare di raggio $R$ appoggiato su un piano oriz-
zontale ﬁsso. Le dimensioni della locomotiva sono trascurabili rispetto
a $R$ , la massa di tutti i binari componenti il circuito è $M$ e il circuito può
scorrere sul piano di appoggio senza attrito alcuno. Locomotiva e cir-
cuito sono inizialmente fermi, poi la locomotiva si mette in moto ﬁno
a raggiungere una velocità di scorrimento relativa ai binari $v_0$ costante.
Si determini la traiettoria della locomotiva rispetto al piano di appoggio,
ed il periodo $T$ del suo moto dopo il transiente iniziale. Si discutano i
due limiti $M >> m$ e $m >> M$ . In che senso il secondo di essi può essere
irrealistico?

Timmo · Messaggio da **Timmo** » 21 giu 2009, 18:20

EDIT-AVVISO: i link contengono ragionamenti, discussioni e soluzioni al problema - non leggere se volete provare a risolverlo da soli qui

http://olimpiadi.dm.unibo.it/oliForum/v ... php?t=8864

http://olimpiadi.dm.unibo.it/oliForum/v ... php?t=4833

P.S.

Benvenuto nel forum!

EDIT

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 21 giu 2009, 19:16

Bello questo problema (e pure difficile). L'ho visto non molto tempo fa quindi se qualcuno vuole risolverlo senza vedere i link delle discussioni posso dare qualche aiuto io, se non riesce.

P.S.: Benvenuto!

djoko92 · Messaggio da **djoko92** » 21 giu 2009, 20:07

Ciao a tutti!

Non avevo visto i topic sull'oliforum...

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 22 giu 2009, 10:08

Timmo ha scritto:http://olimpiadi.dm.unibo.it/oliForum/v ... php?t=8864

http://olimpiadi.dm.unibo.it/oliForum/v ... php?t=4833

P.S.

Benvenuto nel forum!

Non smontiamo il problema prima che qualcuno provi a risolverlo...si possono ripostare problemi postati 2 anni fa su un altro forum no?

Timmo · Messaggio da **Timmo** » 22 giu 2009, 13:55

Alex90 ha scritto:
Timmo ha scritto:http://olimpiadi.dm.unibo.it/oliForum/v ... php?t=8864

http://olimpiadi.dm.unibo.it/oliForum/v ... php?t=4833

P.S.

Benvenuto nel forum!
Non smontiamo il problema prima che qualcuno provi a risolverlo...si possono ripostare problemi postati 2 anni fa su un altro forum no?

Non era mia intenzione, pensavo che fosse utile sapere che era stato già discusso....
Comunque edito il post precedente per avvisare chi legge..

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 22 giu 2009, 15:42

Timmo ha scritto: Non era mia intenzione, pensavo che fosse utile sapere che era stato già discusso...

Senza dubbio utile ma magari dopo che ne abbiamo discusso qui...sennò c'è il rischio che qualcuno che vuole provare e magari ha bisogno di un hint va a vedere là e si trova tutta la soluzione

Davide90 · Messaggio da **Davide90** » 22 giu 2009, 15:51

Tentiamo di rispondere, va'...

In assenza di forze d'attrito tra il pavimento e il circuito, non vi sono forze esterne agenti sul sistema, dunque il centro di massa O del sistema rimane fermo. Il centro di massa del circuito è il centro della circonferenza delle rotaie, mentre il trenino possiamo considerarlo come punti forme rispetto al circuito (grazie all'ipotesi provvidenziale che le dimensioni del trenino siano trascurabili rispetto a R).
Dunque la traiettoria del trenino è una circonferenza di centro O (è sufficente questa frase o va motivato meglio?) e raggio pari a $R\cdot\dfrac{M}{M+m}$ .
Di conseguenza possiamo ricavare il periodo $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{v_0}\cdot R\dfrac{M}{M+m}$ .

Il limite per $\frac{m}{M}\rightarrow0$ porta a $T \approx \dfrac{2\pi R}{v_0}$ , quindi il centro di massa va a coincidere con il centro della circonferenza del circuito, che rimane fermo.
Invece il limite per $\frac{M}{m}\rightarrow0$ porta a $T \rightarrow 0$ : questo risultato è poco credibile, in quanto la velocità angolare $\omega$ tenderebbe a infinito.

Troppo facile

, vediamo cosa ho sbagliato...

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 22 giu 2009, 16:18

Davide90 ha scritto: Dunque la traiettoria del trenino è una circonferenza di centro O (è sufficente questa frase o va motivato meglio?) e raggio pari a $R\cdot\dfrac{M}{M+m}$ .

Si, precisamente si dovrebbe dire che la distanza tra i centri di massa del treno e del circuito è costante e da qui dedurre che la distanza tra i centri di massa del treno e del sistema è costante, quindi non può che muoversi su una circonferenza.

In formule:

$\displaystyle MD = md$

$\displaystyle R = d + D = d + \frac{m}{M} d \leadsto d = R \frac{M}{M+m} = cost.$

Davide90 ha scritto: Di conseguenza possiamo ricavare il periodo $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{v_0}\cdot R\dfrac{M}{M+m}$ .

djoko92 ha scritto: [...] velocità di scorrimento relativa ai binari $v_0$ costante.

String · Messaggio da **String** » 26 giu 2009, 15:19

CoNVeRGe. ha scritto:
djoko92 ha scritto: [...] velocità di scorrimento relativa ai binari $v_0$ costante.

Ciao! Stavo provando a determinare il periodo richiesto, ma il risultato non mi viene corretto...forse commetto qualche errore riguardo l'interpretazione dei segni delle velocità...posto i passaggi perchè mi piacerebbe capire dove sbaglio...
Supponiamo che la locomotiva si muova in senso orario, quindi si muoverà nello stesso verso anche il centro del circuito rispetto al centro di massa del sistema, mentre rispetto al suo baricentro si muoverà in senso contrario, ovvero antiorario. Prendo ora come verso positivo delle velocità quello orario. Poichè il momento angolare si conserva abbiamo:

$\displaystyle mv\frac {MR}{M+m}+MV\frac {mR}{M+m}-MR^2\omega '=0$

Quindi

$\displaystyle mv+mV-\omega' MR-\omega 'mR=0$

Sostituisco a $v$ e $\displaystyle V$ rispettivamente $\displaystyle \omega \frac {MR}{M+m}$ e $\displaystyle \omega \frac {mR}{M+m}$ quindi si arriva a

$\displaystyle \omega =\omega '\frac {(M+m)}{m} \qquad (1)$

Ora, per la composizione delle velocità possiamo scrivere:

$\displaystyle \vec v_0=\vec v-\vec V- \vec v' \rightarrow v_0=v-V+\omega' R$ quindi

$\displaystyle v_0=\omega \frac {MR}{M+m}-\omega \frac {mR}{M+m}+\omega ' R$ che porta a

$\displaystyle \omega ' =\frac {Mv_0+mv_0-\omega MR+\omega mR}{mR}\qquad (2)$

Sostituendo questa espressione per $\displaystyle \omega '$ nella (1) si arriva a

$\displaystyle \omega =v_0\frac {(M+m)}{RM}$ che non è il risultato corretto...

Dove sbaglio?

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