urto e velocità massime

Solimano · Messaggio da **Solimano** » 15 giu 2009, 19:54

Scusate se propongo questa questione già parzialmente affrontata in precedeanza.
Supponiamo che un corpo di massa m e velocità v0 urti elasticamente un altro corpo di massa M inizialmente fermo. Trovare i massimi valori delle velocità dopo l'urto.
Per risolvere questa situazione ho usato delle considerazioni geometriche: scrivendo la conservazione dell'energia, ho

$mv_0^2=mv_1^2+Mv_2^2$

da cui

$\frac{v_1^2}{v_0^2}+\frac{Mv_2^2}{mv_0^2}=1$ .

Quest'espressione rappresenta un'ellisse in cui:

$a^2=v_0^2$ e $b^2=\frac{m}{M}v_0^2$ .

Operando la dilatazione che trasforma:

$v_1=at$

$v_2=bu$

con t e u variabili del nuovo sistema di coordinate, si ottiene una circonferenza di equazione:

$t^2+u^2=1$

Il punto della nuova circonferenza in cui si hanno i valori massimi di t e u sono per:

$t=u=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Sfruttando la dilatazione ottengo infine:

$v_1=\frac{v_0}{\sqrt{2}}$

$v_2=\sqrt{\frac{m}{2M}}v_0$ .

A me sembrano piuttosto strani come risultati

,ma vi prego controllate ciò che ho scritto!

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 15 giu 2009, 23:24

Innanzitutto devi chiarire cosa intendi per massimi valori. Che (praticamente) la somma dei loro moduli sia massima?

Solimano · Messaggio da **Solimano** » 16 giu 2009, 8:52

si si intendevo quanto hai detto!

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 16 giu 2009, 11:18

Allora:

Dalla conservazione della quantità di moto si ha:

$mv_0=mv\cos\theta+MV\cos\phi \qquad (1)$

e

$mv\sin\theta=MV\sin\phi \qquad (2)$

Dalla conservazione dell'energia si ha

$m{v_0}^2=mv^2+MV^2 \qquad (3)$

Dalla $(1)$ e dalla $(3)$ ottengo

$m(v_0-v\cos\theta)=MV\cos\phi$

e

$m(v_0+v\cos\theta)(v_0-v\cos\theta)=mv^2\sin^2\theta+MV^2$

Da cui dividendo membro a membro

$\displaystyle v_0+v\cos\theta=\frac{mv^2\sin^2\theta}{MV\cos\phi}+\frac{V}{\cos\phi}$

e quindi

$v_0=\frac{V}{\cos\phi}(\frac{M}{m}\sin^2\phi+1)-v\cos\theta$

Da cui

$2v_0=\frac{V}{\cos\phi}(\frac{M}{m}+1)$

adesso vado a fare un po' di italiano...continuo dopo...

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 16 giu 2009, 21:05

Solimano ha scritto: ma vi prego controllate ciò che ho scritto!

Ho provato a risolverlo analiticamente ma mi è venuta una roba molto grossa, magari ho sbagliato un calcolo ma non credo..

Ad ogni modo il tuo procedimento è sì bello, ma mi sembra un po' azzardato e con passaggi che non hai giustificato minimamente (ad esempio perchè t=u ? e qualè il significato di trovare il massimo con quella circonferenza?).

Puoi comunque risolvere analiticamente e vedere se trovi riscontro geometricamente, ma devi comunque giustificare i passaggi, penso.

EDIT: Ah, e poi credo che tu debba comunque tener conto della conservazione della quantità di moto, perchè con sola l'energia potresti ottenere risultati fisicamente non validi (esempio: $\displaystyle mv_0^2 = Mv_2^2$ con M diverso di m).

Solimano · Messaggio da **Solimano** » 16 giu 2009, 22:56

Come mi avevi giustamente sottolineato, il mio scopo è trovare i valori delle velocità tali da rendere la loro somma massima.
Nel sistema (t;u) la funzione che esprime la somma è data da

$f_{(t)}=t+\sqrt{1-t^2}$

(dove considero solamente la semicirconferenza posta nel semipiano di u positivo).
Il massimo di tale funzione si ottiene per:

$1-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}=0$

da cui (considerando solamente il valore positivo)

$t=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Poichè ho $t^2+u^2=1$ , ho

$u=\frac{1}{\sqrt{2}}=t$

Ora volevo chiedervi anche quali dei valori ottenuti dalla funzione della somma (cioè quelli dati dalla semicirconferenza positiva e da quella negativa) devo prendere in considerazione

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 17 giu 2009, 15:14

Solimano ha scritto: Nel sistema (t;u) la funzione che esprime la somma è data da

$\displaystyle f_{(t)}=t+\sqrt{1-t^2}$

Ecco l'errore

Secondo quanto hai scritto sopra si ha:

$\displaystyle S = v_1 + v_2 = at + bu = at + a \sqrt{ \frac{m}{M} } u = at + axt = a(t+xu)$

Il massimo di $\displaystyle a(t+xu)$ è diverso dal massimo di $\displaystyle t + u$

Grazie alla circonferenza possiamo trovare $\displaystyle u$ in funzione di $\displaystyle t$ ( $\displaystyle t,u>0$ ) quindi otteniamo $\displaystyle S(t)$ .

Il massimo mi viene per

$\displaystyle t = \sqrt{ \frac{M}{m+M} }$

Quindi le velocità:

$\displaystyle v_1 = v_0 \sqrt{ \frac{M}{m+M} }$

$\displaystyle v_2 = v_0 \sqrt{ \frac{M}{m+M} } \frac{m}{M}$

Si vede che $\displaystyle Mv_2 = mv_1$ ovvero che i moduli della quantità di moto dei due corpi dopo l'urto sono uguali.

Riprendendo le equazioni di Alex90:

$\displaystyle mv_0=mv_1\cos\theta+Mv_2\cos\phi \qquad (1)$

$\displaystyle mv_1\sin\theta=Mv_2\sin\phi \qquad (2)$

Dalla (2) emerge quindi che $\displaystyle \cos\theta = \cos\phi$

Dalla (1) vediamo che:

$\displaystyle mv_0 = m 2 v_1 \cos \phi$

Si ottiene quindi:

$\displaystyle \cos\phi = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{M+m}{M} } \qquad \sin\phi = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{3M - m}{M} }$

Controllando questo problema: olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=12&t=88 si può considerare la disuguaglianza:

$\displaystyle \sin\phi \leq \frac{m}{M} \qquad con \frac{m}{M} < 1$

che, sfruttando le limitazioni del seno e del coseno porta a:

$\displaystyle \frac{3}{4} \leq \frac{m}{M} \leq 3 \qquad con \frac{m}{M} < 1$

Invece senza la limitazione $\displaystyle \frac{m}{M} < 1$ credo si avrebbe $\displaystyle 0 < \frac{m}{M} \leq 3$

Come vedi la quantità di moto deve pur rientrarci altrimenti potresti avere risultati irreali.

Spero di non aver fatto errori di calcolo..

Solimano · Messaggio da **Solimano** » 18 giu 2009, 9:56

GIUSTO!!!!!!!! Grazie mille

Avevo scritto una boiata!!

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