SNS 2004/2005 Problema 5

[pascal]

Sempre in termini di ipotesi, ho considerato una sezione nella parte larga del recipiente e un’altra nel foro in prossimità dell’uscita. Se allora è nullo, a meno che non sia infinito. E’ chiaro che la temperatura non può essere proprio zero per il terzo principio della termodinamica. Bisognerebbe avere maggiori informazioni sulla temperatura esterna.
Interpreto questo fenomeno pensando al fatto che il lavoro della pressione interna e l’energia interna vengano convertiti in energia cinetica lineare (non caotica) del gas.

[Pairo]

Ok, adesso ho capito. Avevo sbagliato anche ad assumere che il gas all'esterno mantenesse la stessa temperatura perché assumendo energia cinetica deve perdere energia interna. Così si potrebbe poi concludere con l'equazione (3) che avevo scritto, che si salva dagli errori che avevo fatto perché è indipendente.
Grazie mille!
Per quanto riguarda la soluzione di Paolo 90? A me sembra corretta. Ma in questo caso, per esempio, ammettere giusta una soluzione significa necessariamente considerare sbagliata l'altra? Il problema dice di dare una stima, quindi è possibile che ci siano modi diversi di stimare le grandezze in gioco, anche se si arriva a risultati leggermente diversi?? Evidentemente, comunque, i ragionamenti partono da assunzioni differenti..

[Pairo]

Scusate, mi dispiacerebbe abbandonare questo topic, prima di chiarire tutti i dubbi. So che è un periodo impegnativo per tutti, ma quando qualcuno avrà un po' di tempo (a questo punto magari anche dopo l'esame ) sarebbe bello approfondire.
Come al solito, comunque, grazie a tutti

[Gabry]

Visto che questo topic è restato senza una conclusione definitiva posto la mia soluzione (solo del primo punto, il secondo è poi banale), con la speranza che qualcuno magari esprima la propria opinione per vedere se ottengo un risultato condiviso.
Bernoulli si può usare per qualunque fluido, indicando con i pedici i i valori relativi all'interno e con il pedice e quelli relativi all'esterno si ha:
. Dall'equazione di continuità essendo il foro piccolo e sicuramente il gas uscendo si espande quindi dunque la velocità interna dell'aria è trascurabile. La velocità di fuoriuscita (cioè quella esterna calcolata in prossimità del foro quando ancora le variazioni di densità sono trascurabili) vale dall'equazione dei gas perfetti si ricava facilmente con MM massa molecolare dell'aria. Sostituendo si ottiene dato che che è indipendente dalla pressione interna.
La quantità infinitesima d'aria che esce vale con (V maiuscolo è il volume, da non confondere con la velocità) e dall'equazione precedente sostituendo si ottiene e sostituendo anche la velocità

[Andg94]

Si, in effetti credo anche io che Bernoulli si possa utilizzare.. Nel caso di fluidi comprimibili è necessario tener conto della variazione di energia interna potenziale, ma se approssimiamo l'aria come un gas perfetto non dovrebbero esserci problemi... quindi la soluzione mi pare corretta!

[desga]

Io l'avevo fatto così:

Ogni diminuzione di pressione infinitesima è dovuta ad una diminuzione infinitesima del numero di moli di gas;per la legge dei gas ideali . Compiendo una stima abbastanza grossolana posso dire che dopo un tempo la frazione di gas uscita occupa un volume con la velocità più probabile delle molecole. Supponendo che,dopo un istante così breve, tale "microvolume" sia ancora a pressione p, .Sostituendo si ha e pertanto . Proprio come la tua ! Ma perchè ho utilizzato la velocità più probabile invece che quella media o che quella quadratica media! Secondo me queste sono solo stime egualmente valide, e infatti differiscono tutte per un fattore correttivo numerico. Oggi ho presentato questo problema a un fisico teorico bravissimo ( il vicino di casa di mia nonna!!), e mi ha detto che l'unico metodo "esatto" (ci sono sempre approssimazioni, ma ben più fini) è quello di fare l'integrale esteso al volume con la distribuzione delle velocità di Maxwell-Boltzmann per valutare . Se volete domani riordino gli appunti con calma e posto quel procedimento.

EDIT: Guardate qua olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=15&t=850 e

[pascal]

Penso che non bisogna considerare la velocità di uscita dal foro, bensì quella di entrata. Ogni mole ha un’energia cinetica media traslazionale di 3 R T / 2, che in ciascuna direzione ortogonale diventa R T / 2. Lungo il foro l’energia cinetica vale , da cui la velocità quadratica media risulta .
L’annullamento della pressione esterna indica l’assenza di particelle che dall’esterno rientrano nel recipiente.

[Gabry]

Desga ovviamente siamo nell'approssimazione in cui consideriamo trascurabile la viscosità del gas, altrimenti l'equazione diventerebbe molto fastidiosa, quindi credo che si possa usare Bernoulli

Penso che non bisogna considerare la velocità di uscita dal foro, bensì quella di entrata. Ogni mole ha un’energia cinetica media traslazionale di 3 R T / 2, che in ciascuna direzione ortogonale diventa R T / 2. Lungo il foro l’energia cinetica vale , da cui la velocità quadratica media risulta .
L’annullamento della pressione esterna indica l’assenza di particelle che dall’esterno rientrano nel recipiente.

Pascal l'energia cinetica media scritta in quel modo vale anche quando ci sono differenze di pressione? Mi spiego meglio: sono d'accordo sulla legge che lega la velocità delle molecole alla temperatura (in questo senso quella legge vale in tutti i contesti, una variazione di velocità corrisponde ad una variazione di temperatura), ma in questo caso non si tratta della velocità delle singole molecole, si tratta di un flusso d'aria cioè la velocità di spostamento "complessiva" (ad esempio la velocità delle molecole d'aria nella mia stanza è sicuramente non nulla, ma il flusso d'aria è praticamente nullo cioè l'aria è "ferma").

P.S. per andg94 la variazione di energia interna è presente nell'equazione di Bernoulli ed è proprio la pressione (pensa infatti all'equazione di Bernoulli come la conservazione dell'energia per unità di volume)

[pascal]

Concordo sulla differenza tra la velocità delle molecole e della corrente. Ma in questo caso fuoriescono soltanto le molecole che colpiscono il foro con componenti della velocità media Vx nella direzione della corrente. Tali componenti generano il flusso alla velocità Vx. Non ci sono nel foro molecole che viaggiano in senso inverso come nell'esempio della stanza.

[Gabry]

Mi hai convinto sul fatto che dato che non ci sono molecole che "rientrano" le molecole che escono lo fanno necessariamente con la loro velocità di agitazione termica, ma non mi è chiaro questo passaggio:

Ogni mole ha un’energia cinetica media traslazionale di 3 R T / 2, che in ciascuna direzione ortogonale diventa R T / 2. Lungo il foro l’energia cinetica vale , da cui la velocità quadratica media risulta .

L'unico vincolo che possiamo dire sulle particelle che escono è che queste non hanno velocità nella direzione con verso opposto al flusso (e non ne sono neanche sicuro), ma nulla vieta che una particella abbia altre componenti di velocità lungo le direzioni ortogonali alla direzione di "fuoriuscita" (il gas fuoriuscito infatti sicuramente non rimarrà di forma cilindrica, segno che ci sono anche componenti ortogonali della velocità). L'unica quindi sarebbe utilizzare come ha detto desga la distribuzione di Maxwell-Boltzmann, ma mi pare che complichi parecchio le cose.