SNS 2004/2005 Problema 5

[CoNVeRGe.]

Nel 1997 nella stazione spaziale Mir si produsse un piccolo foro con l'esterno, a causa del quale la pressione interna passò dal valore normale di di mercurio a quello di in 8 minuti.

(a) Si mostri che durante tale periodo la pressione interna diminuì con legge esponenziale.

(b) Si stimi l'area del foro sapendo che il volume pressurizzato della stazione era di e che la temperatura interna era di .

[Loren Kocillari89]

Provo il primo punto
Quando si fora la navicella, il gas interno considerato come perfetto, comincia a fuoriuscire istantaneamente fino a 8 min quando il buco viene "tappato". Se consideriamo l'esterno come vuoto, cioè che non interagisce in alcun modo con l'interno della navicella, allora il mercurio semplicemente si espanderà in modo adiabatico. Se tale espansione è reversibile allora avremo la formula:

Il lavoro speso è dato da:

ovvero, se la massa delle particelle è la stessa:

e quindi
(non so come scrivere la derivata)

che guarda a caso,

cioè



sostituendo quind L, si avrà:

ed
e
dove
in questa espressione ricavandosi la pressione in funzione del tempo verrebbe una relazione logaritmica e quindi esponenziale.
Spero di non aver crocifisso qualche sacra legge della fisica con questa dimostrazione..
Nel caso in cui questa sia la possibile strada secondo me il problema non è chiarissimo o meglio, bisognava dare per scontato molte cose.

[CoNVeRGe.]

Se consideriamo l'esterno come vuoto, cioè che non interagisce in alcun modo con l'interno della navicella, allora il mercurio semplicemente si espanderà in modo adiabatico.

Sì, l'esterno è vuoto e non interagisce con l'interno. E per questo motivo l'espansione non è adiabatica perchè il gas non compie lavoro su nulla.

(non so come scrivere la derivata)

Se con la freccetta vai su una scritta in latex di qualcuno, ti appare ciò che l'utente ha digitato per ottenere quella roba.
Per la derivata basta comunque mettere la 'd'.

[Pairo]

Notiamo inizialmente che la trasformazione è una libera espansione, e quindi, essendo nulli il calore e il lavoro scambiato con l'esterno, la temperatura rimane costante (vedi halliday-espansione libera). Inoltre il gas è aria, che consideriamo essere ossigeno, e quindi assimilabile ad un gas perfetto. La massa molare dell'ossigeno è nota e vale 16 grammi.

Possiamo impostare allora l'equazione dei gas perfetti, con V e T costanti. Si ha:

, da cui, semplificando e integrando dall'istante iniziale a quello finale:



Per il teorema di Bernoulli, possiamo legare la velocità del gas con la pressione interna, considerando una porzione infinitesima di gas prima e dopo l'uscita dal foro. Si ha:

dove m è la massa molare del gas.

Per la terza e ultima equazione, possiamo infine considerare il numero di moli che esce dal foro nell'intervallo infinitesimo di tempo, considerando il volume del cilindro avente come base il foro del gas. Si ha:

dove A è la superficie del foro

Possiamo allora combinare la (1), la (2) e la (3), ottenendo:



Integrando si ottiene una relazione esponenziale tra n e t, e quindi per la (1) una relazione esponenziale tra P e t. Nota la relazione tra P e t, che è anche in funzione della superficie del foro A, è facile ricavare il risultato del secondo punto.

[CoNVeRGe.]

Bernoulli però mi sa che non vale per i fluidi comprimibili. Perlomeno non per quelli che subiscono variazioni di densità..


Comunque sono forniti (a parte) la costante di Boltzmann, la costante di Avogadro e il peso atomico medio dell'aria ().

[Pairo]

L'ho applicato sul fluido prendendo due istanti successivi distanziati da un intervallo di tempo infinitesimale, per cui penso si possano considerare trascurabili tutti gli effetti di compressione. Ovviamente mi piacerebbe sentire a riguardo gli utenti più esperti come Pascal o Pigkappa, ed eventualmente essere corretto

[Rigel]

Mi sembra che l'applicazione di Bernoulli (ammesso che si possa fare) porta a risultati paradossali.
Ad esempio:

Per il teorema di Bernoulli, possiamo legare la velocità del gas con la pressione interna, considerando una porzione infinitesima di gas prima e dopo l'uscita dal foro. Si ha:

dove m è la massa molare del gas.

così hai considerato la pressione interna (quella esterna è 0 quindi non ne tieni conto) e la velocità esterna. Però nel tuo calcolo hai considerato la densità interna e non quella esterna e questo non si può fare. Oltretutto essendo la densità esterna nulla verrebbe un risulato impossibile...
questo mi lascia piuttosto perplesso

[pascal]

Ringrazio, ma non merito questi complimenti.
Forse se includiamo nel bilancio l’energia interna, il risultato potrebbe essere più pertinente.
Applichiamo la conservazione dell’energia al fluido tra le due sezioni nel cilindro e nel condotto.
Se le pressioni sono e e le sezioni regrediscono dei volumi e , la conservazione dell’energia fornisce

trascurando la velocità nella sezione 1.



Per un gas biatomico di massa molare M e per , si ottiene

.

Questo è soltanto un tentativo per determinare v2. Può darsi che nel forum emergano soluzioni più veritiere della presente.

[Paolo90]

Provo a fare una stima: consideriamo la forza esercitata da un pezzo di area A di parete in un tempo dt, essa e' pari alla variazione di quantita' di moto delle particelle del gas:
dove N e' il numero di particelle che si scontra con la parete e M e' la massa delle singole molecole.
Se pero' al posto della parete ci fosse un buco, queste N particelle uscirebbero e si avrebbe una variazione di massa del gas quindi
questa equazione differenziale ha come soluzione un esponenziale.
Ora non mi ricordo la formula per la velocita' media delle particelle di un gas, e penso che in questa formula andrebbe anche divisa per 3 in quanto conta solo la componente perpendicolare alla parete, comunque per una stima dovrebbe andare bene.

[Pairo]

Intanto grazie a tutti; adesso ho capito perchè non si può usare il teorema di Bernoulli

Per un gas biatomico di massa molare M e per , si ottiene

.

Non capisco questo punto. Se non ho frainteso si sta considerando il gas prima e dopo l'uscita dal foro. Ma allora la pressione esterna non dovrebbe essere nulla? Perché si considera nel bilancio energetico? Inoltre la temperatura del gas all'esterno non dovrebbe essere uguale a quella interna?