Un blocco su un piano inclinato.

Davide90 · Messaggio da **Davide90** » 14 gen 2009, 15:33

Aust ha scritto:
BigGian ha scritto:ps le frazionik non le so ancora scrivere... mi mancano le graffe
Alt 123 {
Alt 125 }

Oppure:
Alt Gr + Maiusc + "è" $\rightarrow \{$
Alt Gr + Maiusc + "+" $\rightarrow \}$

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 14 gen 2009, 17:14

quando il blocco tocca terra gli spostamenti sono quelli del punto uno:
$\displaystyle x_m = L cos \theta \frac{M}{m + M}$

$\displaystyle y_m = L sen \theta$

$\displaystyle x_M = L cos \theta \frac{m}{m + M}$
poichè valgono le relazioni $\displaystyle \frac{x_m}{y_m} = \frac{a_m_x}{a_m_y}$ e $M A_M = m a_m_x$ abbiamo le accelerazioni $a_m_x$ e $a_m_y$ in funzione di quella $A_M$ che il secondo punto richiede (le acc. sono rispetto al sistema del centro di massa)

inserendo tutto nella legge di conservazione dell'energia del caso otteniamo:
$\displaystyle A_M = \frac{m g tg \theta}{M + tg^2 \theta (m + M)}$

(con $\displaystyle |v_m^2| = v_m_x^2 + v_m_y^2 = (a_m_x t)^2 + (a_m_y t)^2$ , $\displaystyle v_M^2 = (A_M t)^2$ e $\displaystyle t^2 = \frac{2 x_M}{A_M}$ )

credo di non essermi saltato nulla..

è corretto?

ilvago · Messaggio da **ilvago** » 15 gen 2009, 0:08

Premetto che la prima soluzione viene anche a me $S=\frac{mL cos\theta}{m + M}$

2) Considero a come l'accelerazione della massa m lungo il piano inclinato $a = g sen\theta$ e la distanza che compie L
$L= \frac{1}{2} a t^2$
Lo spostamento del piano è
$S=\frac{1}{2} A t^2$
Mettendole a sistema viene fuori che $A=\frac{a\cdot S}{L}$
Sapendo già S possiamo scrivere $A=\frac{m g cos\theta sen\theta}{m+M}$

Ma probabilmente non è giusta perche mi sembra troppo facile

Ciao a tutti

String · Messaggio da **String** » 17 gen 2009, 13:52

Punto 2)
Per la conservazione dell'energia, quando il blocco è sceso si ha:

$mgL\sin \theta =\displaystyle \frac {1}{2}mv^2+\frac {1}{2}MV^2$

Per la conservazione della quantità di moto sull'asse orizzontale abbiamo che

$0=mv-MV\Rightarrow v=\displaystyle \frac {MV}{m}$

Sostituendo questa relazione nell'equazione della conservazione dell'energia si ottiene che

$\displaystyle V^2=\frac {2m^2gL\sin \theta }{M(M+m)}$

Lo spazio percorso dal piano inclinato quando il blocco è sceso da esso è quello trovato al punto 1) e che vale

$s=\displaystyle \frac {mL\cos \theta}{M+m}$

Lo spostamento del piano è anche uguale a

$s=\displaystyle \frac {1}{2}At^2$

Poichè la velocità finale raggiunta dal piano è $V=At$ possiamo ricavare

$t=\displaystyle \frac {v}{a}$

che sostituito nella precedente equazione del moto uniformemente accelerato dà

$A=\displaystyle \frac {V^2}{2s}=\frac {2m^2gL\sin \theta (M+m)}{2mL\cos \theta M(M+m)}=\frac {mg\tan \theta}{M}$

E' giusto?

Messaggio da **Pigkappa** » 18 gen 2009, 19:02

Fate una quantità incredibile di errori veramente banali. Il problema non è ovvio, visto che ho detto che è di livello pari circa a Senigallia: non basta scrivere due formule di conservazione facili e ricavare.

Ad esempio, String ha applicato il principio di conservazione della quantità di moto orizzontale, mettendoci invece della velocità orizzontale della massa $\displaystyle m$ tutta la sua velocità. Così il problema sembra facile, ma evidentemente questa cosa è sbagliata.

Un'altra cosa che dovreste imparare a valutare sono i casi limite. Si intuisce che se l'angolo diventa molto vicino a 0 o a 90°, l'accelerazione del piano è piccola. Se perciò la vostra risposta diverge in uno di questi casi, dovete sospettare molto che possa essere sbagliata.

La risposta giusta è quella di Converge; ci sono comunque altri modi di fare il problema (si può fare direttamente con le forze, si può fare nel sistema di riferimento accelerato, si può fare scrivendo la lagrangiana (ma questo lasciamolo stare

)), e vi invito a provarci ancora

.

String · Messaggio da **String** » 18 gen 2009, 20:03

Pigkappa ha scritto: String ha applicato il principio di conservazione della quantità di moto orizzontale, mettendoci invece della velocità orizzontale della massa $\displaystyle m$ tutta la sua velocità. Così il problema sembra facile, ma evidentemente questa cosa è sbagliata.

Non ho capito perchè dici che ci metto tutta la velocità della massa $\displaystyle m$ ... Potresti spiegarti meglio?

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 18 gen 2009, 20:22

String ha scritto:
Pigkappa ha scritto: String ha applicato il principio di conservazione della quantità di moto orizzontale, mettendoci invece della velocità orizzontale della massa $\displaystyle m$ tutta la sua velocità. Così il problema sembra facile, ma evidentemente questa cosa è sbagliata.
Non ho capito perchè dici che ci metto tutta la velocità della massa $\displaystyle m$ ... Potresti spiegarti meglio?

come hai tu stesso scritto, la conservazione è della quantità di moto orizzontale; però utilizzando la formula non ne hai considerata la proiezione orizzontale della velocità di m, bensì tutto il suo modulo..

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 18 gen 2009, 20:28

String ha scritto:Non ho capito perchè dici che ci metto tutta la velocità della massa $\displaystyle m$ ... Potresti spiegarti meglio?

Per la conservazione della quantità di moto sull'asse orizzontale abbiamo che
$0=mv-MV\Rightarrow v=\displaystyle \frac {MV}{m}$

Tu dici che si conserva la quantità di moto lungo l'asse x, ma la particella $\displaystyle m$ non ha velocità parallela all'asse x quindi la sua componente orizzontale della velocità non è $\displaystyle v$ bensì $\displaystyle v\cos\theta$

EDIT anticipato

String · Messaggio da **String** » 18 gen 2009, 20:30

Ma quando il blocco è sceso la sua velocità non è solo orizzontale?

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 18 gen 2009, 20:43

Alex90 ha scritto:la sua componente orizzontale della velocità è $\displaystyle v\cos\theta$

però la componente orizzontale non è quella: il modulo della velocità istantanea del blocco durante la discesa non forma l'angolo $\displaystyle \theta$ con l'orizzontale ma un angolo maggiore perchè nel frattempo il piano inclinato si sposta.. (in sostanza: visualizzate la traiettoria del blocco rispetto la situazione iniziale; appare ovvio che il blocco non possa compiere una traiettoria parallela al piano inclinato proprio perchè nella discesa questo si sposta)

Un blocco su un piano inclinato.

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