sns 2012 n.5

[Gabry]

Posto intanto la mia interpretazione. Il sistema è così composto: abbiamo una normale macchina di Carnot con i due classici serbatoi a temperatura Tc e Tf ma il serbatoio Tc è collegato alla sorgente a temperatura Ts e capacità C. Il calore che il serbatoio Tc riceve viene trasferito al gas che compie il ciclo.
Il calore ceduto da Ts a Tc vale al solito essendoil ciclo di Carnot un ciclo reversibile vale per cui il lavoro vale derivando il lavoro e imponendo la derivata uguale 0 (dallo studio del segno della derivata si vede che questo è un massimo) per cui il lavoro è massimo quando .

Per il punto tre (ho ancora qualche dubbio):
Suppongo che la sorgente sia staccata dalla prima macchina quando ha raggiunto l'equilibrio termico, cioè si trova ormai a temperatura Tc. Sono due le possibili interpretazioni del testo:
1) Per sistema si intende solo la seconda macchina allora si procede come prima e si ha .
2) Per lavoro compiuto dal sistema (cosa che ritengo più probabile) si intende il lavoro della prima macchina più quello della seconda. Allora bisogna massimizzare il lavoro della prima macchina più quello della seconda e si ha i valori di Tc e Tc1 desiderati sono le soluzioni di questa equazione.

Edit: Cambio l'interpretazione del sistema che però non cambia i calcoli nella sostanza. La macchina assorbe calore direttamente dalla sorgente a temperatura Ts tramite una isoterma alla temperatura Tc.

[modesto]

Posto intanto la mia interpretazione. Il sistema è così composto: abbiamo una normale macchina di Carnot con i due classici serbatoi a temperatura Tc e Tf ma il serbatoio Tc è collegato alla sorgente a temperatura Ts e capacità C. Il calore che il serbatoio Tc riceve viene trasferito al gas che compie il ciclo.

Il testo è chiaro in proposito: la macchina può assorbire SOLO da mentre secondo la tua interpretazione il calore prima passa da e poi fa il normale ciclo. Quindi la macchina riceve calore da ma questo è proprio ciò che è vietato dal testo. Non condivido pertanto la tua interpretazione.
Punto 3. Ci sono due possibilità. La prima è che venga disconnessa dopo che dalla prima è stato assorbito tutto il calore possibile, pari a e allora sia la prima che la seconda fanno ciascuna un ciclo da . Si trovano nelle stesse condizioni e quindi, per quanto visto al punto 2., ciascun lavoro è massimo se cioè uguale al valore prima trovato che deve valere per entrambe.
L'altra possibilità è invece che venga disconnessa quando la temperatura a cui la prima sta assorbendo calore è giunta ad un dato valore di disconnessione compreso fra . In questo caso il calore assorbito dalla prima è uguale a mentre il calore rilasciato al refrigerante - calcolato con il solito metodo del punto 2. della variazione nulla dell'entropia - risulta . Il lavoro risulta massimo per la prima macchina se, per il solito motivo dell'annullarsi della variazione entropica nel relativo ciclo di Carnot, risulta . Con considerazioni identiche la seconda macchina che fa il ciclo fra ed assorbe il calore , fornirà lavoro massimo - e quindi sarà massimo il lavoro del SISTEMA - se . Si può osservare che il lavoro massimo fornito dal sistema delle due macchine ideali vale quanto quello che era fornito da una sola e la circostanza è del tutto logica.

[Gabry]

Il testo è chiaro in proposito: la macchina può assorbire SOLO da T_S mentre secondo la tua interpretazione il calore prima passa da T_S a T_C e poi fa il normale ciclo. Quindi la macchina riceve calore da T_C ma questo è proprio ciò che è vietato dal testo. Non condivido pertanto la tua interpretazione.

Ho considerato il serbatoio caldo parte della macchina tuttavia non è detto che sia un serbatoio a temperatura Tc, nel testo c'è scritto che la macchina opera tra Tc e Tf quindi queste sono le temperature a cui assorbe e cede calore isotermicamente il calore, il mio risultato non cambia e questa spiegazione mi sembra in perfetto accordo con il testo del problema.
Non hai risposto alla mia domanda del precedente post sulla tua interpretazione, la temperatura Tc cosa è? Fa parte del ciclo o è la temperatura di una macchina ideale a cui riferirsi in modo da avere lo stesso calore assorbito e lavoro massimo? Se vuoi che capisca la tua soluzione devi precisare quello che utilizzi e come lo utilizzi.

Ci sono due possibilità. La prima è che venga disconnessa dopo che dalla prima è stato assorbito tutto il calore possibile

In questo caso la sorgente si trova già alla temperatura Tf quindi la macchina non compie alcun lavoro essendo i due serbatoi alla stessa temperature (la seconda macchina opera tra Tc1 e Tf).

Si può osservare che il lavoro massimo(L_1+L_2) fornito dal sistema delle due macchine ideali vale quanto quello che era fornito da una sola e la circostanza è del tutto logica.

Non mi quadra ma per risponderti devi chiarire la precedente domanda su Tc.

[modesto]

Ho considerato il serbatoio caldo parte della macchina tuttavia non è detto che sia un serbatoio a temperatura Tc, nel testo c'è scritto che la macchina opera tra Tc e Tf quindi queste sono le temperature a cui assorbe e cede calore isotermicamente il calore, il mio risultato non cambia e questa spiegazione mi sembra in perfetto accordo con il testo del problema.
Non hai risposto alla mia domanda del precedente post sulla tua interpretazione, la temperatura Tc cosa è? Fa parte del ciclo o è la temperatura di una macchina ideale a cui riferirsi in modo da avere lo stesso calore assorbito e lavoro massimo? Se vuoi che capisca la tua soluzione devi precisare quello che utilizzi e come lo utilizzi.

sarebbero le temperature del ciclo di Carnot normale (due isoterme e due adiabatiche) cui ci dobbiamo riferire alla fine della soluzione per scegliere quella che rende massimo il lavoro che è stato effettuato nel ciclo di cui non fa parte. Lo avevo già scritto quattro volte e mi dici che non ti ho risposto...Il ciclo può avvenire solo fra e il problema è proprio questo. E tu lo vuoi eludere facendola assorbire proprio a come avviene nell'ordinario ciclo di Carnot. Quando il testo lo vieta espressamente affermando che la macchina OPERA fra ma che può assorbire SOLAMENTE da . Allora non c'entra nulla con il ciclo in quanto tale perchè da lei non può assorbire.

Ci sono due possibilità. La prima è che venga disconnessa dopo che dalla prima è stato assorbito tutto il calore possibile

In questo caso la sorgente si trova già alla temperatura Tf quindi la macchina non compie alcun lavoro essendo i due serbatoi alla stessa temperature (la seconda macchina opera tra Tc1 e Tf)

NO. Quando il ciclo è finito, il fluido nella macchina è ritornato alla temperatura , quella da cui è partito, sennò che ciclo è? E la sorgente è pronta per un nuovo ciclo, quindi alla temperatura iniziale. Ciò non è vero ovviamente se l'assorbimento del primo ciclo si conclude alla temperatura di disconnessione, che è compresa fra come io ho supposto.

[Gabry]

T_C e T_F sarebbero le temperature del ciclo di Carnot normale (due isoterme e due adiabatiche) cui ci dobbiamo riferire alla fine della soluzione per scegliere quella T_C che rende massimo il lavoro che è stato effettuato nel ciclo di cui T_Cnon fa parte.

Ma nel testo c'è scritto:

Si consideri una macchina di Carnot che operi fra due temperature T_C e T_F< T_C. La macchina può assorbire calore solamente da una sorgente posta inizialmente ad una temperatura iniziale T_S e con capacità termica finita C.

Cioè è LA stessa MACCHINA che opera tra Tc e Tf a poter assorbire solo da Tf e non una macchina a cui riferisi, mi pare sia tu che cerchi di "eludere" il testo.

E tu lo vuoi eludere facendola assorbire proprio a T_C come avviene nell'ordinario ciclo di Carnot.

Hai letto il mio ultimo post? Tc è la temperatura costante a cui la macchina assorbe il calore, non è detto che sia un serbatoio da cui attinge il calore. In parole povere è la temperatura dell'isoterma durante la quale la macchina assorbe il calore dalla sorgente a temperatura Ts e questo non contrasta in alcun modo il testo, anzi è interpretare le due temperature come le temperature delle due sorgenti (e non la temperatura del gas quando scambia il calore) ad essere una forzatura infatti nel testo non si parla di sorgenti a parte Ts ma di temperature.

NO. Quando il ciclo è finito, il fluido nella macchina è ritornato alla temperatura T_S, quella da cui è partito, sennò che ciclo è? E la sorgente T_S è pronta per un nuovo ciclo, quindi alla temperatura iniziale.

Non mi tornano i conti sull'energia: dopo il ciclo si è prodotto lavoro (energia) è stato fornito calore al serbatoio freddo (energia) e la sorgente alla fine ha la stessa temperatura iniziale (la stessa energia termica). Da dove viene il surplus energetico? Secondo il tuo ragionamento allora avendo due sorgenti a temperature diverse sarebbe possibile compiere un numero infinito di cicli identici (alla fine la sorgente calda ritorna alla stessa temperatura) e quindi una quantità infinita di lavoro!

[modesto]

T_C e T_F sarebbero le temperature del ciclo di Carnot normale (due isoterme e due adiabatiche) cui ci dobbiamo riferire alla fine della soluzione per scegliere quella T_C che rende massimo il lavoro che è stato effettuato nel ciclo di cui T_Cnon fa parte.

Ma nel testo c'è scritto:

Si consideri una macchina di Carnot che operi fra due temperature T_C e T_F< T_C. La macchina può assorbire calore solamente da una sorgente posta inizialmente ad una temperatura iniziale T_S e con capacità termica finita C.

Cioè è LA stessa MACCHINA che opera tra Tc e Tf a poter assorbire solo da Tf e non una macchina a cui riferisi, mi pare sia tu che cerchi di "eludere" il testo..

Infatti è la stessa macchina, come ho scritto nel post (in cui "opera" l'ho scritto in maiuscolo apposta!) E può assorbire solo a e non a come dici.

E tu lo vuoi eludere facendola assorbire proprio a T_C come avviene nell'ordinario ciclo di Carnot.

Hai letto il mio ultimo post? Tc è la temperatura costante a cui la macchina assorbe il calore, non è detto che sia un serbatoio da cui attinge il calore. In parole povere è la temperatura dell'isoterma durante la quale la macchina assorbe il calore dalla sorgente a temperatura Ts e questo non contrasta in alcun modo il testo, anzi è interpretare le due temperature come le temperature delle due sorgenti (e non la temperatura del gas quando scambia il calore) ad essere una forzatura infatti nel testo non si parla di sorgenti a parte Ts ma di temperature.

Fai un discorso che reputo incredibile. "Tc è la temperatura... a cui ...assorbe calore ma non è detto che sia un serbatoio da cui attinge calore". Ma che dici? Assorbe o no a Tc? Secondo te il gas è sull'isoterma Tc ma assorbe a Ts! E' assurdo perchè una macchina di Carnot compie cicli reversibili e quindi la temperatura del suo fluido è sempre quella della sorgente con cui è in contatto: non può stare alla temperatura Tc dell'isoterma e assorbire a Ts! Ecco chi elude volendo conciliare l'inconciliabile. Infine: si parla eccome di sorgenti, introducendo la novità, rispetto all'ordinario ciclo di Carnot, di quelle a capacità FINITA. La capacità è della SORGENTE e non della temperatura come pensi tu.

[

NO. Quando il ciclo è finito, il fluido nella macchina è ritornato alla temperatura T_S, quella da cui è partito, sennò che ciclo è? E la sorgente T_S è pronta per un nuovo ciclo, quindi alla temperatura iniziale.

Non mi tornano i conti sull'energia: dopo il ciclo si è prodotto lavoro (energia) è stato fornito calore al serbatoio freddo (energia) e la sorgente alla fine ha la stessa temperatura iniziale (la stessa energia termica). Da dove viene il surplus energetico? Secondo il tuo ragionamento allora avendo due sorgenti a temperature diverse sarebbe possibile compiere un numero infinito di cicli identici (alla fine la sorgente calda ritorna alla stessa temperatura) e quindi una quantità infinita di lavoro!

Ma che dici? Nel trenino ciuf ciuf succede proprio questo, essendo la caldaia del treno a CAPACITA' FINITA. C'è l'omino con la pala che rifornisce continuamente di carbone il forno che riscalda la caldaia, sorgente a capacità finita. La differenza di temperatura fra la caldaia e il refrigerante (aria esterna) si crea e si paga con il carbone. Le "due sorgenti a temperature diverse" di cui parli non sono opera dello Spirito Santo. Altro che quantità infinita di lavoro gratis! Ma come puoi pensare che io pensi cose simili?
Mozione d'ordine: per non farla più lunga, visto che con le risposte alle risposte i post diventano autostrade. Come altre volte ci siamo ormai chiariti i reciproci punti di vista. E come altre volte non siamo assolutamente d'accordo. Pazienza, ti propongo di passare ad altro e amici come prima.

[Gabry]

Infatti è la stessa macchina, come ho scritto nel post (in cui "opera" l'ho scritto in maiuscolo apposta!) E può assorbire solo a T_Se non aT_f come dici.

Mi riferivo ovviamente a Ts, nella tua soluzione non mi pare sia la stessa macchina che lavora tra Tc e Tf ad assobrire solo da Ts, ma mi pare che tu consideri una macchina che lavora tra Ts e Tf e un'altra macchina a cui riferirsi che opera tra Tc e Tf, non una sola macchina ma due distinte.

Fai un discorso che reputo incredibile. "Tc è la temperatura... a cui ...assorbe calore ma non è detto che sia un serbatoio da cui attinge calore". Ma che dici? Assorbe o no a Tc? Secondo te il gas è sull'isoterma Tc ma assorbe a Ts! E' assurdo perchè una macchina di Carnot compie cicli reversibili e quindi la temperatura del suo fluido è sempre quella della sorgente con cui è in contatto: non può stare alla temperatura Tc dell'isoterma e assorbire a Ts! Ecco chi elude volendo conciliare l'inconciliabile. Infine: si parla eccome di sorgenti, introducendo la novità, rispetto all'ordinario ciclo di Carnot, di quelle a capacità FINITA. La capacità è della SORGENTE e non della temperatura come pensi tu.

Si parla solo della sorgente Ts e non delle sorgenti a temperatura Tc e Tf, ma solo delle temperature... La macchina assorbe calore da Ts ma restando alla temperatura Tc, è infatti un'isoterma. Non c'è alcun motivo per cui il gas della macchina debba avere per forza la temperatura della sorgente con cui è a contatto (guarda l'esperimento di Boyle sulle isoterme, pur assorbendo calore da una sorgente ad una determinata temperatura il gas rimane a temperatura costante), il gas può benissimo compiere un isoterma e assorbire calore da una sorgente a temperatura diversa per esempio essendo immerso in un bagno a temperatura Tc o compiendo lavoro in modo che non si riscaldi.

Ma che dici? Nel trenino ciuf ciuf succede proprio questo, essendo la caldaia del treno a CAPACITA' FINITA. C'è l'omino con la pala che rifornisce continuamente di carbone il forno che riscalda la caldaia, sorgente a capacità finita. La differenza di temperatura fra la caldaia e il refrigerante (aria esterna) si crea e si paga con il carbone. Le "due sorgenti a temperature diverse" di cui parli non sono opera dello Spirito Santo. Altro che quantità infinita di lavoro gratis! Ma come puoi pensare che io pensi cose simili?

Nel testo non è scritto da nessuna parte che la temperatura Ts riceve calore da qualche parte, sono supposizioni che stai facendo tu. Anche perchè come e quando riceve calore? Se lo ricevesse in modo costante allora il calore assorbito dalla macchina sarebbe diverso, se lo assorbisse alla fine di ogni ciclo non si considera il caso in cui la sorgente raggiunge l'equilibrio termico in più cicli (cioè nel caso in cui non tutto il calore possibile viene assorbito in un ciclo).

[modesto]

Visualizzazione grafica del problema e della soluzione al punto 2.
Non so postare le figure, purtroppo. Allora descrivo per chi avrà pazienza di leggere. Il fluido della macchina di Carnot sia un gas perfetto, come usualmente, e si consideri il diagramma di Clapeyron P,V. Siano le isoterme (iperboli) alle temperature e sia l'inizio del ciclo della macchina di Carnot (che ora non è un ciclo di Carnot), dove è un punto giacente sull'isoterma temperatura iniziale del gas. Si verifica poi la dilatazione reversibile da S, giacente su quell'isoterma, ad F che giace sull'isoterma a temperatura . Può essere rappresentata da una linea continua proprio perchè è reversibile, attraversa tutte le isoterme comprese fra le due, il gas ha sempre la temperatura T assunta via via dalla sorgente ( altrimenti la trasformazione non sarebbe reversibile) a partire da fino a . Durante questa trasformazione il gas assorbe la quantità di calore . Da F effettua una compressione isotermica alla temperatura durante cui cede la quantità al refrigerante fino al punto D di intersezione di questa isoterma con l'adiabatica passante per S. Infatti ha già scambiato in entrata e uscita il calore che doveva scambiare e quindi il ciclo deve concludersi fino ad S con questa adiabatica. Un ciclo reversibile SFDS, fatto di queste tre trasformazioni, in cui il Lavoro compiuto è rappresentato come si sa dall'area racchiusa da questo "triangolo" curvilineo.
Il testo chiede di determinare quell'isoterma in cui la stessa macchina, compiendo però un ciclo di Carnot, fornisce lo stesso lavoro ( che come si sa è allora il massimo possibile fra quelle temperature). Il ciclo di Carnot sarebbe l'isoterma a fino al punto di incontro C con l'adiabatica per F, l'isoterma FD identica alla precedente(cede lo stesso al refrigerante) e l'adiabatica per D ed S fino al punto d'incontro O con l'isoterma : è il ciclo OCFDO di due isoterme e due adiabatiche. Si vede immediatamente che l'area da esso racchiusa coincide in parte con quella triangolare: è allora UNIVOCAMENTE determinato in modo che, detto I il punto d'incontro di SF con l'isoterma , l'area di ICF sia uguale all'area di SOI. Si tratta del valore di calcolato.