PreIPhO 2009-Problema 1

[Pairo]

Ok, allora provo a dare la mia soluzione.

Prima di tutto alcune considerazioni preliminari.
1) In generale, si ha emissione di un fotone quando un'elettrone passa da un livello stazionario a maggiore energia ad uno minore.
2) In questo caso l'emissione di fotoni avverrà da parte degli atomi idrogeno che hanno energia di ionizzazione minore, e quindi necessitano anche di una minore energia per il salto energetico dal primo al secondo livello.
3) L'energia di ionizzazione è uguale all'energia necessaria per strappare un atomo fino a distanza infinita. E' quindi uguale al modulo dell'energia totale del sistema nucleo-elettrone allo stato stazionario per n=1 (poiché l'energia totale minima a distanza infinita è 0).

Supponiamo che dopo l'urto si abbia avuto un'emissione di fotoni e analizziamo la situazione. Per il principio di conservazione della quantità di moto, dopo pochi passaggi, si ha:

dove v è la velocità iniziale dell'atomo di idrogeno, è la sua velocità dopo l'urto e è la velocità dell'atomo di elio dopo l'urto.

Tenendo conto dell'energia assorbita dall'atomo di idrogeno, per la conservazione dell'energia si ha:

dove è l'energia necessaria all'elettrone di idrogeno per passare dal primo livello al secondo livello. Si noti che conoscendo l'energia di ionizzazione dell'idrogeno ,per quanto detto prima possiamo ricavare :

Combinando la e la , eliminando otteniamo:

da cui, eliminando la soluzione inaccettabile:

Da qui possiamo allora ricavare il valore minimo della velocità per cui sia possibile il passaggio dell'elettrone dell'idrogeno dal primo al secondo livello, e quindi ci sia successiva emissione di un fotone, imponendo il delta positivo:

E infine, tenendo conto della :



Il valore dell'energia di ionizzazione dell'elio è quindi inutile, una volta saputo che è maggiore di quella dell'idrogeno.
Prima della seconda parte naturalmente aspetto le correzioni

[CoNVeRGe.]

2) In questo caso l'emissione di fotoni avverrà da parte degli atomi di elio; si avrà infatti che gli atomi di idrogeno, durante l'urto, cedono energia agli atomi di elio, e gli elettroni degli atomi di idrogeno non possono assorbire energia per saltare di livello, a differenza degli elettroni dell'atomo di elio che ricevono energia dall'urto; potranno quindi essere eccitati e in seguito tornare allo stato stazionario.

Non capisco perchè è l'elio a ricevere energia e non l'idrogeno.. Sembra che sia per il fatto che è fermo, ma possiamo benissimo porci in un sistema in cui è l'idrogeno a star fermo e l'elio a muoversi.

[Pairo]

Sì, sì, scusa me n'ero accorto dopo aver postato di aver scritto una stupidata grossa. In effetti, essendo i due sistemi di riferimento inerziali non c'è differenza tra il considerare una particella in moto rispetto all'altra, e l'energia cinetica durante l'urto si trasforma in parte in energia interna della particella che richiede minor energia per il salto energetico. Adesso ho corretto e così dovrebbe essere giusto, però la svista era stata notevole

[CoNVeRGe.]

Non preoccuparti, a tutti capita di spararla grossa e dover ricorrere alla modifica del messaggio

Potresti spiegarmi l'equazione (3)? In particolare non capisco il termine con 1/4 davanti, grazie.

[Pairo]

Sì, questa volta l'avevo sparata grossa .
Allora; abbiamo detto che l'energia di ionizzazione rappresenta l'energia totale, cioè la somma dell'energia cinetica e potenziale, per lo stato ; questo perché per estrarre l'elettrone dall'atomo occorre almeno fornirgli l'energia sufficiente ad azzerare la sua energia potenziale (in altri termini ancora l'elettrone deve arrivare a distanza infinita con con velocità maggiore o uguale a 0).
Ora, l'energie totali dei vari livelli sono proporzionali al quadrato dell'inverso del numero n. Quindi si avrà:

dove è quella della formula dell'atomo di Bohr, dipendente dalla massa e dalla potenza quarta della carica dell'elettrone, ma uguale per tutti i livelli. In particolare,si ha:

Ma allora si può calcolare la differenza di energia totale tra il secondo livello e il primo:

[Ippo]

Ok; cosa succede ora se provi a sostituire il valore che hai trovato per v nelle espressioni di V e di v2? Che interpretazione qualitativa se ne può dare?
(pensare subito a questo fatto poteva essere una bella scorciatoia )

[Pairo]

Le due velocità sono uguali . In questo caso l'urto è completamente anelastico: questo si spiega dal fatto che tutta l'energia interna immagazzinata durante l'urto, è stata spesa per il salto di livello dell'elettrone. In effetti forse questa era una strada più veloce ed elegante

[CoNVeRGe.]

Ora, l'energie totali dei vari livelli sono proporzionali al quadrato dell'inverso del numero n. Quindi si avrà:

dove è quella della formula dell'atomo di Bohr, dipendente dalla massa e dalla potenza quarta della carica dell'elettrone, ma uguale per tutti i livelli.

Bene, è questo che mi mancava. Vedrò di studiarmi qualcosa sull'atomo di Bohr, che mi sembra possa risultare utile in diversi modi e problemi.

[Pairo]

Possiamo allora concludere il problema, tenendo conto dell'effetto doppler; poiché la velocità delle particelle è abbastanza bassa, possiamo scrivere :

dove si ha con velocità della particella di idrogeno rispetto al laboratorio, calcolata al punto precedente.

Ponendoci dalle parti opposte rispetto alla direzione di propagazione, la lunghezza d'onda misurata avrà la stessa espressione della ma il termine avrà segno opposto. Si avrà allora:

[pascal]

Nel sistema S del centro di massa (cm) il procedimento si potrebbe semplificare.
La velocità del cm è:

.

Le due particelle in S hanno le velocità:

.

La quantità di moto prima dell’urto in S è nulla; ciò si verifica facilmente oppure scaturisce dalla considerazione che la grandezza è uguale alla massa del sistema per la velocità (nulla) del cm.
Dopo l’urto la quantità di moto rimane zero significando che i due atomi avranno quantità di moto opposte. Se vogliamo utilizzare per l’eccitazione dell’idrogeno tutta l’energia attorno al cm, cioè l’energia iniziale, è necessario che le due velocità in S si annullino. In tal modo la massa m deve essere lanciata con velocità minima. L’energia disponibile in S è:

.

Sfruttando quest’energia per la transizione dallo stato fondamentale al primo livello eccitato (formula di Bohr) dell’atomo di H si ha:

.