sns 2012 n.5

[modesto]

Nella mia formula del rendimento massimo non mi quadrava infatti che esso dipendesse da e che non potesse esprimersi solo con le temperature. Credo di aver trovato la soluzione:ENTROPIA. Infatti, siccome viene richiesto il rendimento massimo che può avere una macchina termica in contatto con i due bagni, dobbiamo immaginare un ciclo REVERSIBILE nel quale viene assorbita da una quantità di calore alla temperatura ovvero una quantità infinitesima (- perchè dT è negativo) e viene ceduta al bagno freddo una quantità di calore infinitesima alla temperatura uguale a . Siccome il ciclo è reversibile su esso può calcolarsi la totale variazione entropica che deve essere NULLA (così come quella dei due bagni e dunque dell'intero sistema isolato macchina+bagni). La relazione ci permette finalmente di calcolare e quindi di togliere l'anomalia alla mia formula. Dovrà essere infatti
ovvero . Essendo la quantità totalmente assorbita è facile allora calcolare il lavoro come ed il rendimento massimo come . Quest'ultimo, considerato che , sarebbe secondo me come dovevasi dimostrare.
Mi sarebbe piaciuto che fosse venuta una formula che si fosse poi ridotta a Carnot per C tendente a infinito. Ma il rendimento non dipende da C perchè anche dipende da C. Forse perchè il ritmo termico di assorbimento è uguale a quello di cessione?

[Gabry]

Concordo con la tua soluzione che coincide con la mia.

Forse perchè il ritmo termico di assorbimento è uguale a quello di cessione?

Non ho capito quello che vuoi dire ma credo che qf dipenda dalla temperatura raggiunta dal gas che compie il ciclo dopo aver assorbito il calore e quindi indirettamente dalla quantità di calore assorbito in funzione della capacità termica.

Per il punto due hai trovato un'interpetazione per la macchina in contatto con tre sorgenti, ma che può assorbire calore solo da una? In poche parole a che serve il serbatoio caldo se la macchina non può assorbire calore da questo?

[modesto]

Non riesco a entrare nel forum e mi scuso per il ritardo. La macchina non è in contatto con tre sorgenti. Riceve calore da a capacità finita e cede calore al refrigerante . Si chiede il lavoro massimo, cioè il massimo di . Ora è noto che, data una certa quantità di calore prelevata da una caldaia a temperatura , fra le macchine termiche quella di Carnot rilascia al refrigerante la minima e quindi compie il lavoro massimo possibile con quella quantità assorbita. Allora mi pare che la domanda sia: a quale dovrebbe assorbire affinchè rilasciasse al refrigerante la del punto 1. con al posto di ?
E' facile rispondere se concordi con la soluzione di 1. La solita variazione d'entropia nulla nel ciclo di Carnot richiederebbe che

da cui risolvendo è possibile determinare

che risulta maggiore di ove sia,come è, .

[Gabry]

La macchina non è in contatto con tre sorgenti. Riceve calore da T_S a capacità finita e cede calore al refrigerante T_F.

Quindi secondo te Ts è semplicemente la temperatura iniziale del serbatoio caldo?

Ora è noto che, data una certa quantità di calore prelevata da una caldaia a temperatura T_C, fra le macchine termiche quella di Carnot rilascia al refrigerante la minima q_F e quindi compie il lavoro massimo possibile con quella quantità assorbita. Allora mi pare che la domanda sia: a quale T_C dovrebbe assorbire Q_t=C(T_S-T_F) affinchè rilasciasse al refrigerante la q_F del punto 1. con T_S al posto di T_C?

Non credo che debba minimizzarsi semplicemente Qf perchè deve massimizzarsi il lavoro che vale L=Qc-Qf che non è semplicemente funzione di Qf ma anche di Qc quindi bisogna massimizzare la differenza tra il calore assorbito e quello ceduto.
Se l'interpretazione è giusta e la macchina lavora tra solo due sorgenti di cui una posta a temperatura iniziale Ts abbiamo: da cui quindi derivando dallo studio della derivata si vede che la funzione ha solo un minimo ( e nessun massimo inoltre notiamo che dopo questo minimo la funzione è sempre crescente quindi tanto più alta è la temperatura iniziale tanto più alto sarà il lavoro senza alcun limite superiore, il che non mi sembra poi tanto strano perchè è normale che una sorgente a temperatura sempre più alta permette di assorbire sempre più calore il che consente di compiere più cicli e quindi di fornire più lavoro.

[modesto]

Quindi secondo te Ts è semplicemente la temperatura iniziale del serbatoio caldo?

Lo dice il testo non io.

Ora è noto che, data una certa quantità di calore prelevata da una caldaia a temperatura T_C, fra le macchine termiche quella di Carnot rilascia al refrigerante la minima q_F e quindi compie il lavoro massimo possibile con quella quantità assorbita. Allora mi pare che la domanda sia: a quale T_C dovrebbe assorbire Q_t=C(T_S-T_F) affinchè rilasciasse al refrigerante la q_F del punto 1. con T_S al posto di T_C?

[Non credo che debba minimizzarsi semplicemente Qf perchè deve massimizzarsi il lavoro che vale L=Qc-Qf che non è semplicemente funzione di Qf ma anche di Qc quindi bisogna massimizzare la differenza tra il calore assorbito e quello ceduto.

Invece si perchè il calore assorbito è DATO, una volta date, come sono date, . E' infatti . Quindi l'unico modo per massimizzare L è MINIMIZZARE .

Se l'interpretazione è giusta e la macchina lavora tra solo due sorgenti di cui una posta a temperatura iniziale Ts abbiamo: da cui quindi derivando dallo studio della derivata si vede che la funzione ha solo un minimo ( e nessun massimo inoltre notiamo che dopo questo minimo la funzione è sempre crescente quindi tanto più alta è la temperatura iniziale tanto più alto sarà il lavoro senza alcun limite superiore, il che non mi sembra poi tanto strano perchè è normale che una sorgente a temperatura sempre più alta permette di assorbire sempre più calore il che consente di compiere più cicli e quindi di fornire più lavoro.

Secondo me continui a fare confusione fra , che è un valore che dobbiamo trovare per cui e la temperatura corrente T, a partire da fino a , a cui la macchina assorbe calore e che deve comparire nell'espressione dell'entropia. T varia dal valore iniziale a quello finale . Quindi la tua variazione d'entropia e il calcolo di sono sbagliati. Non ci deve comparire che nel ciclo reale non esiste proprio: il ciclo avviene fra e .
Poi una volta metti ,che è negativa e quindi opposta a quella assorbita che deve essere positiva, un'altra metti che oltre a essere ancora negativa non c'entra nulla perchè non compare nel ciclo.
Ovviamente secondo me non ha senso poi il discorso della derivata: arrivi alla conclusione che più è il calore assorbito e più è il lavoro prodotto. Lo sapevamo già...Il testo secondo me è un altro. Ti invito allora a dare il tuo risultato alternativo al mio. Quanto vale secondo te la che chiede al punto 2. e con quale criterio la si determina?
Figuriamoci poi l'interpretazione del punto 3. del testo!

[Gabry]

Lo dice il testo non io.

Il testo dice che la macchina può assorbire calore solo da una sorgente a temperatura iniziale Ts non dice che questa sia il serbatoio caldo.

Secondo me continui a fare confusione fra T_C, che è un valore che dobbiamo trovare per cui dT_C=0

Per chiarire cosa si debba massimizzare bisogna prima aver chiarito questo, cosa intendi per Tc? Io intendo la temperatura in ogni istante del serbatoio caldo (che inizia da Ts e finisce a Tf). Se come dici tu Tc deve essere costante questo si ottiene solo quando il serbatoio caldo e il serbatoio freddo raggiungono l'equilibrio termico. O forse Tc è la temperatura di qualcos'altro?

oi una volta metti Q_c=C(T_F-T_S) ,che è negativa e quindi opposta a quella assorbita che deve essere positiva, un'altra metti Q_c=C(T_F-T_C) che oltre a essere ancora negativa non c'entra nulla perchè T_Cnon compare nel ciclo.

Ho sbagliato a scrivere tutti i pedici c si riferiscono a s.

.Il testo secondo me è un altro.

Quale sarebbe? Non si vuole trovare la temperatura del serbatoio caldo (che inizia a Ts) affinchè il lavoro sia massimo?

[modesto]

Lo dice il testo non io.

Il testo dice che la macchina può assorbire calore solo da una sorgente a temperatura iniziale Ts non dice che questa sia il serbatoio caldo.

Ma se può assorbire solo da lì vuol dire che questa è la sua SOLA possibile caldaia.

Secondo me continui a fare confusione fra T_C, che è un valore che dobbiamo trovare per cui dT_C=0

Per chiarire cosa si debba massimizzare bisogna prima aver chiarito questo, cosa intendi per Tc? Io intendo la temperatura in ogni istante del serbatoio caldo (che inizia da Ts e finisce a Tf). Se come dici tu Tc deve essere costante questo si ottiene solo quando il serbatoio caldo e il serbatoio freddo raggiungono l'equilibrio termico. O forse Tc è la temperatura di qualcos'altro?

Preciso definitivamente, anche se nel post della soluzione mi pareva di essere stato chiaro. Abbiamo una macchina di Carnot che funziona fra (con tutte le implicazioni: se prende una alla riesce a farla fruttare meglio di ogni altra macchina cioè rilascia al refrigerante la MINIMA in modo che il lavoro che compie con è il massimo possibile e il rendimento, DATO , è il massimo fra tutte le macchine che funzionassero fra le stesse temperature e a cui fosse dato lo stesso "carburante" ). Condividi fino a qui? Ora, per ragioni insondabili, questa macchina IDEALE di Carnot può assorbire solo da una sorgente a capacità finita e temperatura iniziale ( come nel n.1 era , maledetti simboli..). Ora attento perchè questo è un punto che ci vede perplessi. Assorbe calore da questa a temperatura che è via via decrescente da . (Questa non la puoi chiamare che è la temperatura della sua caldaia, cui però NON PUO' attingere!). La quantità di calore totale che riceve dalla sorgente a capacità finita è ed è DATA se sono date, come sono date, .
La macchina fa il suo ciclo ideale reversibile perchè è di Carnot. Bisogna trovare allora visto che abbiamo il calore assorbito. Per trovare il calore rilasciato al refrigerante, dato che il ciclo è reversibile e quindi su esso possiamo calcolare le variazioni entropiche, imponiamo che la variazione di entropia del fluido della macchina sia NULLA - proprio perchè compie un CICLO REVERSIBILE. (Da notare che la è anche per sorgente-refrigerante e per il sistema isolato dove avviene il ciclo reversibile). Per calcolarla si usa il metodo del punto1. che hai dichiarato di condividere
da cui si ricava
Ora la domanda da un miliardo. Qual è la di un ciclo di Carnot in cui la macchina assorbe a ,ovviamente costante, la stessa quantità perchè dia al refrigerante proprio il nostro ? Ci si pone la domanda perchè una tal macchina, a quella che dobbiamo trovare, farebbe il lavoro massimo con quella quantità assorbita. Imponiamo ancora l'annullarsi dell'entropia del fluido che questa volta è
ed abbiamo per il valore che ho dato nel mio post.
Io la vedo così per l'interpretazione del testo e per la risposta. Francamente non riesco ad esprimere più chiaramente il mio punto di vista. La parola a te.

[Gabry]

Adesso forse ho capito cosa intendi: ci sono un liquido (o qualcos'altro) a temperatura iniziale Ts e capacità termica C e una caldaia (il contenitore del liquido) a temperatura Tc.
Tuttavia così non mi quadrano alcune cose: il liquido e la caldaia non raggiungono l'equilibrio termico, cioè sono in qualche modo isolati tra di loro?
E, cosa più importante, la variazione infinitesima di entropia secondo me non va calcolata con la temperatura del recipiente (la caldaia) ma con la temperatura alla quale viene assorbito il calore, cioè la temperatura istantanea della sorgente. Altrimenti basta considerare una trasformazione che operi similmente alla nostra macchina di Carnot, tra due caldaie a temperatura ma che può assorbire calore solo dal liquido posto nella caldaia più fredda, a temperatura iniziale . Se la macchina non compie lavoro il calore assorbito è uguale a quello ceduto e quindi se come dici tu è corretto considerare la temperatura della caldaia la variazione di entropia vale ma essendo allora (ho considerato il sistema di riferimento delle sorgenti con calore negativo quando lo cedevano e positivo quando lo assorbivano, ma se non ti convince basta invertire la relazione di grandezza tra le temperature per ottenere lo stesso risultato) e se i serbatoi non scambiano calore con l'ambiente allora questa sarebbe la diminuzione dell'entropia dell'universo ma ciò contraddice il secondo principio della Termodinamica! Nota che non c'è alcun impedimento al flusso di calore in quanto la temperatura del liquido è maggiore di quella della caldaia alla quale viene trasferito il calore quindi una situazione del genere è verificabile. Quindi non credo sia corretto considerare la temperatura della caldaia nel calcolo dell'entropia.

[modesto]

Adesso forse ho capito cosa intendi: ci sono un liquido (o qualcos'altro) a temperatura iniziale Ts e capacità termica C e una caldaia (il contenitore del liquido) a temperatura Tc.

NON intendo assolutamente questo e mi pare incredibile di poter così essere stato interpretato. Non è un liquido. E' una sorgente reale a temperatura iniziale che non si sa se contiene liquido o no anche se si chiama caldaia o calorifero o bagno caldo. Nei testi viene schematizzata con un pianerottolo (che assomiglia ad un fornello del gas e che non può non esserti familiare) su cui si poggia il cilindro con pistone scorrevole che contiene il fluido termodinamico e che rappresenta la macchina. Essa viene a contatto con il pianerottolo e il fluido nel cilindro assume direttamente la temperatura del medesimo giacchè si suppone sempre la base del cilindro perfettamente conduttrice. Che c'entrano il liquido a temperatura iniziale che sarebbe contenuto(!) in a caldaia contenitrice a temperatura . Ma dove ho scritto queste cose?
Allora e davvero per l'ultima volta. La macchina di Carnot NON può essere posta sul pianerottolo a temperatura , che avrebbe capacità infinita e che sarebbe capace di fornire calore senza diminuire di temperatura. Può accedere solo al pianerottolo a temperatura iniziale che ha capacità finita C e la cui temperatura scende gradatamente da questa fino a quella del refrigerante relativo alla sorgente inaccessibile .
La temperatura istantanea T del pianerottolo è allora anche quella del fluido ideale, per esempio gas perfetto, contenuto nel cilindro-macchina di Carnot. ECCO PERCHE' E' GIUSTO NEL CALCOLO DELLA SUA ENTROPIA METTERCI T, contrariamente a come tu continui a pensare. Fatti i calcoli, in questo cilclo reversibile in cui la macchina assorbe calore ad una temperatura T che varia da e quindi nella quantità , si calcola la quantità di calore ,rilasciata al refrigerante e TUTTA alla temperatura , imponendo che la variazione d'entropia sia nulla perchè il ciclo è reversibile. Quindi il lavoro ottenuto dalla macchina sarà . La quantità assorbita è quella che è (date non può essere modificata). E non si può modificare nemmeno che risulta funzione delle medesime. Allora ci si chiede: quanto dovrebbe valere la della caldaia di un ciclo ideale di Carnot da cui assorbire ISOTERMICAMENTE in modo che, come è prerogativa della macchina di Carnot nel suo ciclo ideale di due isoterme e due adiabatiche, il nostro risulterebbe il MINIMO possibile e quindi il lavoro L risulterebbe il MASSIMO possibile?
Si calcola imponendo ancora che la variazione d'entropia di questo ciclo di Carnot, che quindi è diverso da quello visto, sia nulla cioè che .
E' la terza volta che ribadisco queste cose. Sono scoraggiato. Interverrò sul punto 2. solo di fronte ad una tua interpretazione, con relativo risultato,diversa e alternativa.
Altrimenti il punto 3. che non mi sembra di univoca interpretazione tanto più, come dimostrano i fatti, se anche noi ci mettiamo del nostro...

[Gabry]

Scusa ma allora prorpio non ho capito, nella nostra macchina di Carnot che cosa ha temperatura Tc e come interviene nel ciclo? Esprimiti per favore chiaramente facendo le differenze tra questa e la sorgente a temperatura Ts, perchè mi pare che tu prima abbia detto che Ts è la temperatura iniziale di Tc.
Da quello che hai scritto ora qui:

quanto dovrebbe valere la T_C della caldaia di un ciclo ideale di Carnot da cui assorbire ISOTERMICAMENTE C(T_S-T_F)in modo che, come è prerogativa della macchina di Carnot nel suo ciclo ideale di due isoterme e due adiabatiche, il nostro q_F risulterebbe il MINIMO possibile e quindi il lavoro L risulterebbe il MASSIMO possibile?

io personalmente ho capito questo: Tc non fa parte della nostra macchina di Carnot ma è la temperatura di una caldaia a capacità infinita di un altro ciclo che dobbiamo confrontare con il nostro in modo da avere la stessa quantità di calore assorbita e lavoro massimo, è questo che intendi?