sns 2012 n.4

[modesto]

Credo che dovresti trovare prima il risultato esatto considerando anche il raggio e poi verificare che il 5,88 per dieci alla meno tre stia entro il più o meno 10% del risultato esatto, ora che ci sto pensando credo di aver sbagliato a calcolare l'errore perchè ho considerato il valore medio tra il valore esatto e quello approssimato (non sono sicuro perchè non ricordo esattamente) appena ho tempo ricontrollo.

Stasera vedrò di buttare giù la mia soluzione. Rivedendo bene la figura a 30° il pallino tocca la superficie della sfera in un punto che identifica R/2. Ma il cerchio d'urto lo impatterebbe, essendo perpendicolare al flusso dei pallini, con il punto estremo del diametro ORIZZONTALE del pallino: in soldoni il mio raggio del cerchio d'urto sarebbe (R+r)sen30°= 0,05125 che conduce a 6,1 in 10 a meno tre e corrisponde esattamente ad una deflessione di 120°. Prendendo il valore ideale di prima come valore esatto - poichè ha raggio R/2 e quindi corrisponde allora ad una deflessione di 120° come deve essere - si osserva che la differenza fra i due è minore sia di 0,058 che di 0,061. Credo allora che darò come soluzione approssimata a meno del 10%5,88 in 10 a meno tre.

[modesto]

Il flusso dei pallini vede uno schermo di lato 2 m diviso in 10000 celle quadrate ciascuna di raggio 2 cm. 300 di queste celle nel primo caso e 9000 nel secondo sono riempite da cerchi massimi, proiezione sullo schermo delle sfere di raggio 1 cm. diffuse nel volume. Nella configurazione più casuale e probabile possono considerarsi proiezioni sullo schermo di sfere non sovrapposte. I casi sovrapposti sono più improbabili e meno casuali: come trecento sfere disposte in tre righe consecutive di celle o 1000 celle libere disposte nelle prime10 righe delle 100 possibili. Inoltre, considerato che m/M è dell'ordine di , se si conserva la qdm e l'energia cinetica nell'urto anche centrale fra un pallino ed una sfera si vede che il pallino è riflesso praticamente con la velocità incidente e la sfera di ferro rimane praticamente ferma nel suo alloggiamento cubico di polistirolo di lato 2 cm. Inoltre il rapporto fra superfici ORTOGONALI al flusso dei pallini - quelle sullo schermo per esempio - corrispondono al rapporto fra i numeri di pallini incidenti su dette superfici dato che la densità dei pallini incidenti su superfici ortogonali è la stessa. Infine si definisce l'angolo di deflessione di un pallino in seguito all'urto sulla superficie sferica dove è l'angolo di incidenza formato dalla direzione del pallino incidente con la normale alla sfera nel punto di incidenza. Non si considerano deflessioni multiple.

1. Perchè la deflessione sia di 120° bisogna che l'angolo di incidenza sia di 30°, perchè ne sia maggiore occorre che sia minore di 30°. Si individua allora un "cerchio d'urto", ortogonale al flusso dei pallini, di raggio essendo R/2=0,5 cm ed r/2= 0,0125 cm per la sfera ed il pallino. A questo cerchio corrisponde una deflessione maggiore o uguale a 120°. Moltiplicando l'area del cerchio d'urto per 300 e dividendo per 40000 cmq area dello schermo si ottiene come frazione ideale dei pallini deflessi di 120° e più. Per ottenere la frazione f dei pallini deflessi sicuramente più di 120°, come richiede il quesito,si può diminuire il raggio d'urto di r/2 metà del raggio del pallino e si ottiene che differisce dalla precedente meno del suo 10% che vale .

[modesto]

2. La configurazione più casuale ovvero più probabile delle 9000 sfere è quella di apparire distinte sulla faccia-schermo perpendicolare al flusso dei pallini con le 1000 celle senza sfera che appaiono sullo schermo distribuite casualmente 10 per riga (colonna) nelle 100 righe (colonne). In media ognuna di esse è circondata da 9 celle con cerchio massimo - che indica la proiezione di una sfera. Allora l'area teoricamente (idealmente) disponibile per il passaggio indisturbato dei pallini è la somma di 1000 quadrati di lato 1 cm più 9000 volte la differenza fra l'area di un quadrato e quella di un cerchio massimo. Essa dà luogo alla frazione (teorica) di pallini che attraversano indisturbati il polistirolo pari a

Tuttavia l'area compresa fra quattro cerchi massimi contigui, pari all'area lasciata libera in ogni quadrato (4-3,14), non è tutta praticabile dai pallini senza essere deviati: basta considerare i 4 triangoli rettangoli mistilinei aventi vertici nei punti di tangenza di due cerchi contigui per rendersi conto che in ciascuno di loro ci sono due zone inagibili senza deviazione per un totale di 8 zone. Si può stimare una di queste zone come un triangolo rettangolo mistilineo avente cateti almeno uguali al diametro del pallino. Questa possibile approssimazione porta a togliere a ciascun (4-3,14)(quadrato-cerchio)= 0,86 la quantità che, moltiplicata per 9000 da luogo a 90 cmq in meno e porta la frazione approssimata di pallini non deviati a
, un'approssimazione che differisce molto meno del 10% (0,02935) da 0,2935 che era la frazione teorica.

[Gabry]

2. La configurazione più casuale ovvero più probabile delle 9000 sfere è quella di apparire distinte sulla faccia-schermo perpendicolare al flusso dei pallini con le 1000 celle senza sfera che appaiono sullo schermo distribuite casualmente 10 per riga (colonna) nelle 100 righe (colonne)

Non credo che sia la situazione più probabile quella di avere 9000 sfere non sovrepposte su 10000 quadrati, supponendo di avere 8999 sfere non sovrapposte la probabilità che un'ulteriore pallina posizionata a caso vada a finire su una riga già occupata è che è circa l'89% (si è considerato per il 99 che una pallina su una riga già "coperta" occupa uno spazio).

Allora l'area teoricamente (idealmente) disponibile per il passaggio indisturbato dei pallini è la somma di 1000 quadrati di lato 1 cm più 9000 volte la differenza fra l'area di un quadrato e quella di un cerchio massimo. Essa dà luogo alla frazione (teorica) di pallini che attraversano indisturbati il polistirolo pari a

Il secondo 4000 non dovrebbe avere segno più? Per il resto anche il mio risultato sarebbe venuto così se, pur avendo scritto la formula giusta, non avessi sbagliato i conti con la calcolatrice, il che equivale a non saper fare la O con un bicchiere

[modesto]

Non credo che sia la situazione più probabile quella di avere 9000 sfere non sovrepposte su 10000 quadrati, supponendo di avere 8999 sfere non sovrapposte la probabilità che un'ulteriore pallina posizionata a caso vada a finire su una riga già occupata è che è circa l'89% (si è considerato per il 99 che una pallina su una riga già "coperta" occupa uno spazio).

Non capisco, ma è colpa mia, il tuo calcolo. Soprattutto perchè a denominatore c'è 100000. nè 10000 nè 1000000. Poi la riga già occupata non la capisco poichè una riga dello schermo è occupata da 90 cerchi che corrispondono a 90 sfere che abitano nel piano della riga ciascuna in uno dei 10000 vani di quel piano. Si pretende che questi 90 vani non siano nello stesso "corridoio", non siano allineati. Questa è la configurazione più CASUALE. Sarebbe ne converrai meno casuale che fossero, all'altro estremo, tutte e 90 allineate nello stesso "corridoio", cioè tutte sovrapposte in modo da apparire come una sola in quella riga dello schermo. Quindi quella da noi considerata mi sembra davvero la situazione più CASUALE come dice il testo: senza sovrapposizioni le sfere sono tutte nella STESSA SITUAZIONE diversamente dal caso in cui due o più siano sovrapposte. Anche perchè se entri nell'ordine di idee della sovrapposizione quante ne sovapponi? Uno potrebbe allora pensare anche a 90 cerchi massimi in una colonna dello schermo, ciascuno rappresentante 100 sfere sovrapposte dietro di lui. Ma non sarebbe certo la disposizione più CASUALE e darebbe luogo ad una elevatissima frazione di pallini che passano indisturbati avendo essi a disposizione 9910 quadrati senza cerchio su 10000!.
Quindi la nostra scelta è la più sensata e CASUALE anche perchè rende MINIMA - e non ARBITRARIA - la superficie disponibile perchè i pallini passino indisturbati e quindi è la situazione più equa nella distribuzione delle sfere.

Il secondo 4000 non dovrebbe avere segno più? Per il resto anche il mio risultato sarebbe venuto così se, pur avendo scritto la formula giusta, non avessi sbagliato i conti con la calcolatrice, il che equivale a non saper fare la O con un bicchiere

Si hai ragione, provvedo a correggere il - poichè il risultato è stato calcolato con il +!

P.S. Comunque a parte il calcolo delle probabilità, mi rimane la sensazione che possa esserci un punto di vista DIVERSO che io però non riesco a precisare. Infatti il nostro risultato sarebbe lo stesso se le 9000 sfere fossero tutte nella faccia su cui si spara nel parallelopipedo 2mx2mx2cm. che rappresenta la centesima parte del cubo. Perchè allora hanno messo il cubo?
Inoltre la CASUALITA' della distribuzione è legata alla faccia su cui si spara perchè mi pare che, se per una certa distribuzione delle sfere nel cubo non ci sono sovrapposizioni rispetto alla faccia su cui si spara, questo non sarebbe vero se con la STESSA distribuzione si sparasse su un'altra faccia. Mi rendo conto che se ci mettiamo a fare i processi alle intenzioni della commissione non se ne esce più. Quindi se non hai altre idee radicalmente diverse di interpretazione del testo e non ci sono altri interventi fra un paio di giorni posterei il n.5.

[Gabry]

Non capisco, ma è colpa mia, il tuo calcolo. Soprattutto perchè a denominatore c'è 100000.

Mi è saltato uno 0 scrivendo, era un milione quello a cui mi riferivo e su cui è stato calcolato l'89%.

La soluzione la condivido, anche io avevo operato così, però non credo che nel secondo caso la situazione con tutte le palline non sovrapposte sia la più probabile.
Basta ad esempio considerare la situazione in cui sono già presenti 8999 palline non coperte, queste occupano 8999 quadrati sulla faccia da cui vengono sparati i pallini e quindi 8999 righe del cubo. Calcoliamo la probabilità che la 9000sima pallina (converrai che la probabilità disposizione di tutte le 9000 palline in modo che nessuna sia coperta sia necessariamente minore della probabilità che l'ultima pallina non vada a coprire o sia coperta da un'altra pallina) a caso vada a finire in una riga che corrisponde ad un quadrato non "oscurato", ossia non copra o sia coperta da un altra pallina.
I casi favorevoli sono i quadrati corrispondenti alle righe (mi riferisco alle righe che vanno dalla faccia su cui sono sparati i pallini fino alla faccia opposta) che non hanno già una pallina al loro interno, ci sono quindi 1001 righe libere ognuna con 100 cubi disponibili, quindi i casi favorevoli sono 1001*100, considerando il caso in cui una pallina non può introdursi in un cubo già occupato i casi possibili sono 1000000-8999 quindi la probabilità che la nuova pallina inserita non sia coperta o non copra (dalla vista frontale dalla faccia verso cui sono sparati i pallini) nessun'altra pallina è Cioè la pallina ha il 90% di probabilità (nel post precedente mi ero dimenticato di togliere dai casi possibili i cubi già occupati) di coprire o essere coperta da una delle 8999 palline già posizionate. Quindi la disposizione di tutte e novemila le sfere (dovendo moltiplicare le probabilità di ogni pallina al momento del piazzamento ed essendo la probabilità <=1) ha una possibilità sicuramente inferiore del 10% di risultare come noi l'abbiamo concepita, cioè con nessuna sfera nemmeno parzialmente coperta.

[modesto]

La soluzione la condivido, anche io avevo operato così, però non credo che nel secondo caso la situazione con tutte le palline non sovrapposte sia la più probabile.
Basta ad esempio considerare la situazione in cui sono già presenti 8999 palline non coperte, queste occupano 8999 quadrati sulla faccia da cui vengono sparati i pallini e quindi 8999 righe del cubo. Calcoliamo la probabilità che la 9000sima pallina (converrai che la probabilità disposizione di tutte le 9000 palline in modo che nessuna sia coperta sia necessariamente minore della probabilità che l'ultima pallina non vada a coprire o sia coperta da un'altra pallina) a caso vada a finire in una riga che corrisponde ad un quadrato non "oscurato", ossia non copra o sia coperta da un altra pallina.
I casi favorevoli sono i quadrati corrispondenti alle righe (mi riferisco alle righe che vanno dalla faccia su cui sono sparati i pallini fino alla faccia opposta) che non hanno già una pallina al loro interno, ci sono quindi 1001 righe libere ognuna con 100 cubi disponibili, quindi i casi favorevoli sono 1001*100, considerando il caso in cui una pallina non può introdursi in un cubo già occupato i casi possibili sono 1000000-8999 quindi la probabilità che la nuova pallina inserita non sia coperta o non copra (dalla vista frontale dalla faccia verso cui sono sparati i pallini) nessun'altra pallina è Cioè la pallina ha il 90% di probabilità (nel post precedente mi ero dimenticato di togliere dai casi possibili i cubi già occupati) di coprire o essere coperta da una delle 8999 palline già posizionate. Quindi la disposizione di tutte e novemila le sfere (dovendo moltiplicare le probabilità di ogni pallina al momento del piazzamento ed essendo la probabilità <=1) ha una possibilità sicuramente inferiore del 10% di risultare come noi l'abbiamo concepita, cioè con nessuna sfera nemmeno parzialmente coperta.

Non so se hai notato che nel mio ultimo post non parlo più di probabilità ma di casualità, come del resto il testo stabilisce. Non sono in grado di giudicare se il tuo approccio probabilistico sia corretto. Quello che è certo è che al fine di non essere deviato il pallino debba fare i conti con TUTTE le 9000 sfere e che quindi deve vedere sullo schermo 9000 cerchi massimi ovvero NON CI DEVONO ESSERE SOVRAPPOSIZIONI. Altrimenti con le sovrapposizioni si entra nel regno dell'arbitrio rimanendo libera per il passaggio non deviato una superficie che è arbitraria proprio perchè dipende dal numero di sovrapposizioni: gli esempi che ho fatto nei post precedenti sono inconfutabili. Si possono avere anche 9910 su 10000 quadrati liberi dal punto di vista del pallino che arriva.
Ora la nostra situazione di sicuro è la più casuale - non dico più "la più probabile" - perchè le sovrapposizioni non trattano le sfere tutte allo stesso modo e pertanto sono meno casuali. Le analogie potrebbero moltiplicarsi: pensiamo alle molecole di un gas all'equilibrio ad una certa temperatura; in media le molecole nella configurazione più a caso debbono avere la stessa velocità e nel volume occupato deve esserci una loro densità costante. Sarebbe meno casuale che fossero raggruppate in un sotto-volume come le nostre sfere sovrapposte. Quindi credo che, salvo punti di vista radicalmente diversi che, ripeto, non so immaginare, la nostra soluzione sia aderente al quesito.
Anche se il risultato viene lo stesso qualora si verificasse, come ti ho detto nell'ultimo post, una configurazione che non è certo casuale: TUTTE le 9000 sfere stanno nella faccia su cui si spara. Si otterrebbe la nostra frazione di pallini deviati. Infatti con la nostra soluzione non si tiene conto della terza dimensione, la profondità del cubo. Come dicevo: è possibile un punto di vista diverso? Io non lo immagino. Quindi diamo la soluzione così a meno di altri interventi. Domani posterò comunque il n.5.

[Gabry]

Non capisco cosa tu intenda per "più casuale" e come fai a distinguerlo da più probabile.
La soluzione credo sia quella, il testo era mal posto o non l'abbiamo capito per nulla, però il nostro è un caso particolare (unico addirittura nelle varie possibili configurazioni) e scegliendo veramente a caso le palline si otterrebbe la maggior parte delle volte un risultato diverso.

Altrimenti con le sovrapposizioni si entra nel regno dell'arbitrio rimanendo libera per il passaggio non deviato una superficie che è arbitraria proprio perchè dipende dal numero di sovrapposizioni

Siamo già entrati nel regno dell'arbitrio, abbiamo scelto una configurazione particolare, quella con 0 sovrapposizioni, non ci sono motivi validi (nemmeno probabilistici) che la reale disposizione delle palline posizionate a caso sia quella, anzi è anche poco probabile.
Detto questo per questo problema ho concluso, vorrei evitare di lasciare 10000 post a quei poveracci che in futuro vorranno semplicemente vedere come si tratta un problema di questo genere (al di là delle interpretazioni).

[Andg94]

Scusate se intervengo solo ora ma non ho avuto molto tempo nell'ultima settimana. La mia osservazione è ancora riguardo alla distribuzione casuale: il numero n di palline esposte e non coperte potrebbe essere espresso dalla relazione ? Così da avere il numero massimo n di palline per cui (9000 - n) palline avrebbero una probabilità totale maggiore del 50% di venir tutte coperte?
Comunque per il resto della soluzione concordo, anche se sinceramente non mi è chiara una cosa:

Questa possibile approssimazione porta a togliere a ciascun (4-3,14)(quadrato-cerchio)

In che modo? Scusate ma proprio non l'ho capito...

[modesto]

Scusate se intervengo solo ora ma non ho avuto molto tempo nell'ultima settimana. La mia osservazione è ancora riguardo alla distribuzione casuale: il numero n di palline esposte e non coperte potrebbe essere espresso dalla relazione ? Così da avere il numero massimo n di palline per cui (9000 - n) palline avrebbero una probabilità totale maggiore del 50% di venir tutte coperte?
Comunque per il resto della soluzione concordo, anche se sinceramente non mi è chiara una cosa:

Questa possibile approssimazione porta a togliere a ciascun (4-3,14)(quadrato-cerchio)

In che modo? Scusate ma proprio non l'ho capito...

Ci sono un milione su novemila combinazioni che danno tutte le possibili distribuzioni di novemila sfere nel volume cubico di polistirolo. Di queste ce ne sono diecimila su novemila ( o su mille, se preferisci) combinazioni che fanno apparire sulla faccia dove si spara novemila cerchi massimi, proiezione delle sfere nel volume. Abbiamo scelta una di queste combinazioni perchè ci è sembrata la meno arbitraria, quella in cui si "vedono" tutte le novemila sfere senza sovrapposizioni. Infatti, all'altro estremo, si potrebbe immaginare per esempio di scegliere una combinazione di distribuzione nel volume che fa apparire sulla faccia dove si spara solo novanta cerchi massimi, ciascuno in rappresentanza di cento sfere sovrapposte in fila "dietro" di lui.
La frazione ideale di pallini che passano indisturbati è allora data dal seguente rapporto: l'area di ciascun quadrato (4 cmq) meno l'area del cerchio massimo inscritto(3,14.1 cmq) moltiplicata per novemila più l'area dei mille quadrati liberi: tutto ciò fratto quarantamila cmq che è l'area totale della faccia su cui si spara.
Ma questa è la frazione ideale perchè se disegni un quadrato con il cerchio inscritto puoi vedere otto zone, contigue a ciascun punto di tangenza cerchio-quadrato, dove un pallino non può passare. Si è stimata come l'area di un triangolo rettangolo avente un cateto pari al diametro del pallino e l'altro cateto calcolato con 0,31 cm. Tolti gli otto "triangolini" è possibile calcolare l'area totale "sicura" dove possono sicuramente passare pallini indisturbati: differisce dalla precedente frazione ideale di meno del 10% come chiede il quesito.