gas monoatomico nel cilindro

[modesto]

In attesa dei testi ufficiali degli sns 2012 che ancora stranamente non sono comparsi nel sito, propongo il testo seguente per risolvere il quale sono sufficienti i risultati più noti della teoria cinetica dei gas che comunque un pò bisogna conoscere...

Una mole di gas perfetto monoatomico con massa molare è racchiusa in un cilindro di volume e lunghezza , poggiato orizzontalmente su una generatrice e le cui basi identiche sono tenute alle temperature costanti e con .
Supponendo che le particelle di gas che rimbalzano da una base ne abbiano assunto la temperatura e che il cammino libero medio di una particella sia molto maggiore di , determinare la pressione esercitata dal gas sulle basi ed una stima della variazione di entropia nell'unità di tempo indotta dal gas sulle basi medesime.

[Gabry]

Io l'ho pensato così:
Quando una particella di gas urta una parete (escludendo gli urti tra le particelle stesse) ha la temperatura della parete opposta e le rispettive velocità: e
Il tempo impiegato tra due urti successivi alla stessa parete è uguale al tempo per percorrere la lunghezza prima con una velocità e poi con l'altra sostituendo .
La forza esercitata da una molecola sulla parete vale dunque
sostituendo se non ho sbagliato i calcoli
Il numero di molecole che urta sulle basi è uguale ad un terzo del numero totale di molecole (dato che queste si muovono casualmente lungo le tre direzioni dello spazio) cioè da cui la pressione sostituendo tutto ottengo

Se anche tu hai ottenuto lo stesso risultato passo a risolvere la seconda parte

[modesto]

L'idea generale forse è giusta ma il risultato non è corretto perchè le velocità che tu consideri possono avere direzioni qualsiasi (non a caso si chiamano velocità quadratiche medie, in modulo come hai scritto ).
Al fine della trasmissione della qdm alle basi e del tempo di percorrenza della lunghezza sono necessarie invece le componenti direzionali di queste velocità, in particolare le componenti perpendicolari alle basi e parallele ad . Sennò la qdm trasmessa sarebbe, come nel tuo caso, sempre la stessa a prescindere dall'angolo di incidenza della particella sulla parete. E queste componenti direzionali non valgono in media, com'è intuitivo, come il modulo della velocità di cui sono, appunto, componenti.
Nemmeno il trucco dell' funziona perchè non è come se un terzo delle particelle avesse la velocità quadratica media in direzione x, un terzo in direzione y...: tutte le particelle hanno una certa componente che può essere anche nulla, certo. Il valor medio di questa componente direzionale viene calcolato dalla teoria cinetica sulla base della distribuzione di Maxwell-Boltzmann e non risulta pari ad un terzo della velocità quadratica media.

[Gabry]

Non ho mai trattato fino ad ora la distribuzione di Maxwell-Boltzmann tuttavia anche se pure io ho avuto dei dubbi a riguardo ho trovato una dimostrazione della velocità quadratica media (che ho dato per buona) che non tiene conto dell'angolo di incidenza e divide semplicemente per 1/3 inoltre girando su internet ho trovato che avendo il gas una distribuzione uniforme le tre velocità medie (lungo le rispettive componenti) sono uguali e quindi pari ad un terzo della velocità media.

Edit: mi sono accorto solo ora (c'era infatti qualcosa che non mi tornava) che vpm e vm rispettivamente velocità perpendicolare media e velocità quadratica media quindi appena posso correggo la soluzione.

[Gabry]

Correggo l'errore che avevo commesso:
Quando una particella di gas urta una parete (escludendo gli urti tra le particelle stesse) ha la temperatura della parete opposta e le rispettive velocità: e
La velocità media perpendicolare alla parete, come detto nel post precedente, è: (dato che la velocità quadratica media è data dalla somma vettoriale delle velocità medie delle particelle lungo le tre direzioni dello spazio , che in un gas a distribuzione uniforme sono uguali) quindi e
Il tempo impiegato tra due urti successivi alla stessa parete è uguale al tempo per percorrere la lunghezza prima con una velocità e poi con l'altra sostituendo .
La forza media esercitata da una molecola sulla parete vale dunque
sostituendo se non ho sbagliato i calcoli
La forza totale è uguale a da cui la pressione sostituendo tutto ottengo

Spero di non aver commesso altri errori grossolani

[modesto]

Purtroppo la velocità perpendicolare alle pareti come tu dici non è corretta. In questo caso è più complicato: il tuo discorso può essere accettabile quando non ci sono limiti spaziali e le velocità direzionali possono essere positive o negative (chiamiamola per esempio quella perpendicolare alle pareti). Nel caso tuo generale, dato che la funzione di distribuzione di MB è pari, il valor medio di sarebbe nullo! Infatti è intuitivo che nel caos molecolare potendo avere con la stessa probabilità valori positivi o negativi, sarà mediamente nulla. Nel nostro caso invece il valore assunto dalla velocità dopo l'urto con una parete può avere solo un segno e quindi si lavora in un semispazio, si dimezzano le possibilità e quindi raddoppiano le probabilità. Allora per trovare il valor medio di bisogna prendere il valore doppio della distribuzione di MB, moltiplicarla per e integrarla fra 0 e infinito (anzichè fra meno e più infinito, nel qual caso verrebbe 0).
Mi rendo conto che uno di noi non ci può pensare. Personalmente ci sono arrivato dopo giorni avendo però il risultato a disposizione. Se vuoi fare l'integrale non è difficile, altrimenti ti darò io il risultato e affronterai se vuoi la seconda parte.

[Gabry]

Nella dimostrazione della pressione in un contenitore chiuso ho trovato che la velocità perpendicolare viene espressa proprio in quel modo ed erano presenti i limiti spaziali, non capisco perchè non vada bene... Il fatto che ci siano sia valori positivi che negativi dovrebbe essere irrilevante poichè ho definito la velocità media perpendicolare al quadrato come un terzo della velocità media al quadrato. Mi spiego meglio in formule dove vpm è la velocità perpendicolare media (per la precisione velocità quadratica media appunto che non è influenzata dai segni) e vp la velocità di ogni particella (non ho saputo scrivere meglio la sommatoria in latex ma penso si capisca) quindi i versi opposti delle velocità non influiscono sulla probabilità. Non l'ho espresso chiaramente nella soluzione, ma quando prendevo le velocità perpendicolari medie prendevo solo il valore positivo (passando dal quadrato alla radice avrei dovuto considerare entrambi i segni per la radice) perchè le velocità erano obbligate, cioè la velocità ad una data temperatura poteva avere solo una direzione avendo urtato la parete (autoimponevo quindi il sistema di riferimento). Invece mi sono accorto di un altro stupido errore che ho commesso, mi sono scordato di cambiare il segno alla velocità dopo l'urto, correggendo qeusto errore mi verrebbe:

[modesto]

Nel caso del recipiente cui ti riferisci la particella va alla velocità all'andata e alla stessa velocità in valore assoluto ma opposta al ritorno. Quindi ci sono sia le velocità positive che le corrispondenti negative. Viene fuori un impulso trasmesso dalla particella alla parete per unità di tempo uguale a e viene una media dei quadrati quindi come quella che fai tu. Infatti quella che usi tu è la velocità quadratica media lungo l'asse x. Si tratta della radice quadrata della media dei quadrati delle velocità lungo questo asse ed è palesemente diversa dalla media delle positive proprio perchè media anche i quadrati delle velocità negative.
Il nostro caso è insomma diverso da quello del recipiente chiuso che citi e da quello che hai fatto tu. Infatti la particella va alla velocità all'andata e alla velocità al ritorno. Quindi un certo valore può assumere un solo segno. E' un risultato abbastanza noto della teoria (anche in rete) che si ha e alla luce di questo risulta

[Gabry]

Nel caso del recipiente cui ti riferisci la particella va alla velocità all'andata e alla stessa velocità in valore assoluto ma opposta al ritorno. Quindi ci sono sia le velocità positive che le corrispondenti negative. Viene fuori un impulso trasmesso dalla particella alla parete per unità di tempo uguale a e viene una media dei quadrati quindi come quella che fai tu. Infatti quella che usi tu è la velocità quadratica media lungo l'asse x. Si tratta della radice quadrata della media dei quadrati delle velocità lungo questo asse ed è palesemente diversa dalla media delle positive proprio perchè media anche i quadrati delle velocità negative.
Il nostro caso è insomma diverso da quello del recipiente chiuso che citi e da quello che hai fatto tu. Infatti la particella va alla velocità all'andata e alla velocità al ritorno. Quindi un certo valore può assumere un solo segno. E' un risultato abbastanza noto della teoria (anche in rete) che si ha e alla luce di questo risulta

Hai ragione, non ho pensato al fatto che le velocità diverse influenzassero la velocità quadratica media, anche se non ho capito come hai fatto per calcolarla

[modesto]

Ho tentato di spiegarlo in parole nel post dell'8/11. Comunque ribadisco la nota distribuzione di M-B per una componente cartesiana della velocità di una particella di massa m
.
Essa va raddoppiata perchè dimezzando le possibilità (non ci sono i segni negativi) raddoppiano le probabilità. E' palese che per trovare la media di quelli positivi (la media dei positivi e dei negativi sarebbe NULLA!) bisogna moltiplicare per e integrare fra zero e infinito ovvero

Osservando che si riduce al facile integrale di un esponenziale che fornisce