Pallina su piano inclinato che si muove

[Bolzo88]

Propongo questo problema che mi è capitato sottomano qualche giorno fa, dovrebbe venire dall'Amaldi. Come livello direi che è da quesiti delle olimpiadi regionali.

Ci sono, appoggiati su un piano liscio, una pallina di massa e un piano inclinato, anch'esso di massa . Il piano inclinato è inizialmente fermo, mentre la pallina è lanciata verso il piano inclinato con velocità . La pallina incontra il piano inclinato e inizia a salire; supponiamo che il piano inclinato non sia esattamente "piano" ma sia una salita che inizia in modo graduale, in modo da poter assumere che l'energia si conservi. Supponiamo che non ci siano attriti nè tra il piano inclinato e la pallina, nè tra il piano inclinato e il piano su cui è appoggiato.
Il piano inclinato ha un'altezza massima . Si calcoli la velocità minima necessaria affinché la pallina raggiunga la sommità del piano.


edit: tra due post c'è una variante più difficile del problema

[Gabry]

Dalla conservazione della quantità di moto (alla sommità piano e pallina si muovono con la stessa velocità orizzontale se questo è il punto massimo che la pallina raggiunge) dalla conservazione dell'energia sostituendo ottengo

[Bolzo88]

Ottimo! Propongo la variante difficile.

Supponiamo ora che il piano inclinato non inizi in modo graduale ma sia effettivamente un piano, inclinato di un angolo rispetto al suolo. Supponiamo che nel momento in cui la pallina incontra il piano ci sia un urto perfettamente anelastico tra i due. Supponiamo inoltre che anche in questo caso non ci siano attriti di nessun tipo.
Qual è la velocità minima che deve avere la pallina prima dell'urto per raggiungere un'altezza ?

[Gabry]

Supponiamo ora che il piano inclinato non inizi in modo graduale ma sia effettivamente un piano, inclinato di un angolo rispetto al suolo.

Non avevo capito già prima cosa intendessi dire con l'iniziare in modo graduale, però ho supposto che servisse solo per poter usare la conservazione dell'energia... Potresti spiegarti meglio? Intendi dire che il piano inclinato inizia con una specie di gradino?

Supponiamo ora che il piano inclinato non inizi in modo graduale ma sia effettivamente un piano, inclinato di un angolo rispetto al suolo.

Con perfettamente anaelastico intendi totalmente anaelastico? Se è così almeno da come ho capito io i due corpi dovrebbero rimanere uniti dal momento dell'urto e non potrebbe esserci alcun moto tra loro (tranne il caso del gradino in cui a restare fermo sarebbe il punto di contatto permettendo quindi le rotazioni) e quindi la pallina non potrebbe salire lungo il piano

[Bolzo88]

Supponiamo ora che il piano inclinato non inizi in modo graduale ma sia effettivamente un piano, inclinato di un angolo rispetto al suolo.

Non avevo capito già prima cosa intendessi dire con l'iniziare in modo graduale, però ho supposto che servisse solo per poter usare la conservazione dell'energia... Potresti spiegarti meglio? Intendi dire che il piano inclinato inizia con una specie di gradino?

Prima serviva solo per usare la conservazione dell'energia. Ora intendo dire che il piano inclinato è un normale piano inclinato (un prisma che visto di lato ha una sezione triangolare).

Con perfettamente anaelastico intendi totalmente anaelastico? Se è così almeno da come ho capito io i due corpi dovrebbero rimanere uniti dal momento dell'urto e non potrebbe esserci alcun moto tra loro (tranne il caso del gradino in cui a restare fermo sarebbe il punto di contatto permettendo quindi le rotazioni) e quindi la pallina non potrebbe salire lungo il piano

Scusa, mi sono spiegato male: urto anelastico nella direzione perpendicolare al piano, mentre nella direzione parallela al piano il piano stesso non fa forze sulla pallina.

[Gabry]

Prima serviva solo per usare la conservazione dell'energia. Ora intendo dire che il piano inclinato è un normale piano inclinato (un prisma che visto di lato ha una sezione triangolare).

Forse non avevo compreso appieno il testo, la pallina ha delle dimensioni (un raggio R)?

In questo caso provo una soluzione che mi è venuta così di getto e che però non so se sia corretta non avendoci riflettuto molto su (ho trascurato l'eventuale rotolamento della pallina essendo il piano privo di attrito): dopo l'urto la pallina conserva la sua velocità parallela al piano inclinato di valore essendo l'urto anaelastico la pallina e il piano inclinato si muovono inoltre con la stessa velocità orizzontale (rispetto al piano non inclinato). Anche la velocità parallela al piano inclinato ha però una componente orizzontale rispetto al piano non inclinato di valore , conservando la quantità di moto lungo la componente orizzontale rispetto al piano d'appoggio ottengo dove vx è la velocità orizzontale comune al piano e alla pallina da cui conservando di nuovo la quantità di moto la velocità di piano inclinato e pallina quando questa raggiunge la sommità vale dopo l'urto l'energia lungo la risalita si conserva quindi:

(scrivo i vari passaggi perchè alcune semplificazioni hanno quasi dell'incredibile)







Anche se il risultato viene carino il ragionamento mi sembra un pò contorto e credo che abbia qualche falla

[Bolzo88]

Sì, la pallina non è puntiforme, in modo che va a urtare già sulla parte inclinata del piano e non sul vertice. Diciamo per comodità che .

Veniamo alla tua soluzione, per ora faccio solo un paio di commenti:

1) Hai fatto bene a trascurare il rotolamento della pallina, l'assenza di forze di attrito lo esclude. Inoltre hai notato correttamente che si conservano la quantità di moto lungo x e l'energia dopo l'urto.

2) Quando si trova un risultato finale che non si sa se è corretto è meglio fare tutti i controlli qualitativi possibili. Il minimo sindacale è controllare che le dimensioni siano corrette (e in questo caso lo sono), poi, se possibile, è utile controllare cosa viene in limiti semplici in cui abbiamo un'idea di cosa deve succedere. In questo problema, quindi, la prima cosa da pensare una volta trovato il risultato è se i limiti per e per danno risultati che avremmo potuto aspettarci a priori. Secondo te i limiti danno cose ragionevoli fisicamente?

[Gabry]

Anch'io mi sono accorto che c'è qualcosa che non va perchè per la pallina non dovrebbe poter salire quindi mi aspetterei una velocità infinita e invece una velocità nulla quando l'angolo è uguale a 0.

[Bolzo88]

Ok per l'angolo infinito.

Per quando l'angolo tende a 0, invece, non sono d'accordo che ci aspettiamo una velocità nulla: è vero, la pallina va su un piano che pende molto poco, ma deve comunque arrivare alla fine del suo moto a un'altezza . In altre parole, il limite è per ma è ad altezza fissata!

[Gabry]

Ok per l'angolo infinito.

Per quando l'angolo tende a 0, invece, non sono d'accordo che ci aspettiamo una velocità nulla: è vero, la pallina va su un piano che pende molto poco, ma deve comunque arrivare alla fine del suo moto a un'altezza . In altre parole, il limite è per ma è ad altezza fissata!

Hai ragione, stavo pensando ad un'altezza variabile con l'angolo con lunghezza fissata ma invece è proprio il contrario. Allora in questo modo per che tende a 0 dovrebbe valere la semplice conservazione dell'energia e ritornare al caso precedente con ed effettivamente mi sono accorto di un errore nei calcoli che porta a questo risultato! Ora correggo anche nel post precedente