Asta nella magnetosfera

[Gabry]

Un'asta rigida di massa m e lunghezza L ruota attorno alla terra, in un orbita di raggio R, disposta in direzione radiale (si supponga che l'asta non ruoti attorno al proprio centro di massa) nella magnetosfera terrestre (si supponga il campo magnetico uscente dal piano contenente l'asta e l'equatore terrestre). Lungo l'asta scorre una corrente I mantenuta costante nel tempo. Calcolare il tempo necessario affinchè l'orbita dell'asta vari di una lungezza d rispetto all'orbita iniziale.

[modesto]

Dal testo sembra trattarsi di un'orbita equatoriale in cui, uguagliando la forza centripeta all'attrazione gravitazionale, si ottiene la nota relazione tra la velocità e il raggio dell'orbita
, essendo la costante di gravitazione universale e la massa della Terra. La forza magnetica agente sull'asta, supponendo il vettore B induzione uscente dal piano dell'orbita ma non essendo noto il verso della corrente nell'asta, vale e sarà comunque diretta come la tangente all'orbita come o contro : nel primo caso accelerando l'asta e nel secondo rallentandola. Differenziando la relazione velocità/raggio si ottiene

da cui si evince che se il raggio aumenta la velocità diminuisce e viceversa. Con questa premessa integrando ed essendo
si può dedurre il tempo t (il segno di d è tale da rendere il tempo positivo):

Può darsi ovviamente che abbia sbagliato i conti e/o il procedimento.

[Gabry]

Non ho avuto il tempo di controllare tutto il procedimento né di confrontarlo con il mio (appena ho tempo lo farò) tuttavia ho visto che anche tu hai usato il calcolo differenziale che non ho invece trovato nella soluzione ufficiale che mi ha lasciato perplesso perchè considerava la variazione di energia potenziale dovuta ad un lavoro considerando praticamente la velocità angolare costante

[Gabry]

La mia soluzione ottenuta con un procedimento diverso (ma praticamente analogo) è molto simile alla tua tranne che per il fattore -1/2, ecco il mio ragionamento:
da cui integrando . Essendo ottengo
Forse hai sbagliato nell'integrale perchè ti sei dimenticato di moltiplicare per -2 o di considerare nel complesso come l'antiderivata di

Tuttavia rimane il fatto che stranamente la soluzione ufficiale porta come soluzione senza usare alcuna forma differenziale e tra i dati c'è il tempo e non il raggio (e non è nemmeno presente la massa della Terra da cui eventualmente si sarebbe potuto calcolare)

[modesto]

La mia soluzione ottenuta con un procedimento diverso (ma praticamente analogo) è molto simile alla tua tranne che per il fattore -1/2,.....tuttavia rimane il fatto che stranamente la soluzione ufficiale porta come soluzione senza usare alcuna forma differenziale e tra i dati c'è il tempo e non il raggio (e non è nemmeno presente la massa della Terra da cui eventualmente si sarebbe potuto calcolare)

Ho scoperto che la soluzione ufficiale coincide con la nostra ( a parte il mio fattore che mi era rimasto perchè ho sbagliato a copiare dal foglio che avevo scritto prima di postare la soluzione prendendo il risultato prima della semplificazione del 2).
Essendo ho trovato che si può sviluppare in serie il nostro primo radicale e che vale la formula . ( Ci sarebbero poi derivate successive calcolate in 0 e potenze di divise per i relativi fattoriali). Per cui si può porre . Essendo poi
, sostituendo nel tuo risultato il valore con il segno che fornisce per un valore positivo, poichè se d è positivo la tua differenza fra parentesi viene negativa e viceversa, si ottiene proprio . Devo osservare poi che in c'è massa della terra, costante di Newton ed ....per cui non mi pare che esista la contraddizione che rilevi nei dati.

[Gabry]

Avendo il periodo però si può calcolare, mentre non si può calcolare v non conoscendo il raggio. Con lo sviluppo in serie della nostra soluzione è tutto risolto ed effettivamente approssimare per approssimare la soluzione ufficiale risulta più semplice, grazie

[modesto]

Un'asta rigida di massa m e lunghezza L ruota attorno alla terra, in un orbita di raggio R..

Non per essere pignolo ma francamente non capisco il ragionamento di v ed R. Quest'ultimo è dato dal tuo testo come si deduce dalla citazione sopra, per cui per calcolare v occorrono due dati (G ed M) che sono così noti ed importanti da darli per scontati. Il periodo di rotazione dell'asta invece, che ritieni necessario per poter calcolare , non è affatto noto secondo il tuo testo. Per cui anche per calcolare si deve passare da G ed M (secondo la formula che ho riportato ovvero come v/R)!

[Gabry]

Il testo che ho scritto qui è riadattato, la situazione del problema era diversa e come ho detto in un post precedente (forse mi sono espresso male) mi sono accorto dopo che tra i dati del problema non c'era il raggio ma il periodo di rotazione, quindi la formula non approssimata che comprendeva sia il raggio dell'orbita sia la massa della terra non andava bene, mentre quella che contiene la velocità angolare va bene perchè quest'ultima può essere ricavata dal periodo senza introdurre nuovi dati.

[modesto]

Avendo il periodo però si può calcolare, mentre non si può calcolare v non conoscendo il raggio. Con lo sviluppo in serie della nostra soluzione è tutto risolto ed effettivamente approssimare per approssimare la soluzione ufficiale risulta più semplice, grazie

Non per avere l'ultima parola poichè il problema o con un dato o con l'altro ha lo stesso ordine di difficoltà e questo è ciò che conta. Osservo però che uno risolve il testo che vien proposto: come fa a sapere che è stato riadattato dall'autore se questo non lo rivela? E non si può certo dedurre dall'unico post in cui ne fai cenno e che ho citato (2/11). Sembra più una tua supposizione che la dichiarazione che hai modificato il testo originale dal momento che tu stesso il giorno prima avevi proposto la soluzione usando R e NON il periodo!

[Gabry]

Il giorno prima anche io non avendo letto bene il testo pensavo che fosse dato il raggio, appena ho visto che la soluzione e i dati contenevano il periodo, non essendo la prima soluzione non approssimata in alcun modo riconducibile al periodo ed essendo anche il metodo risolutivo della soluzione ufficiale completamente diverso ho pensato che la soluzione che avevo trovato fosse errata del tutto e non semplicemente non approssimata, in ogni caso con la soluzione approssimata il problema non si pone.