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I pianeti del sistema solare sono Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno.

Se si osservano i dati sulle loro orbite, ci si accorge che più ci si allontana dal Sole, più cresce la distanza tra di loro. Ad esempio, la distanza tra Venere e la Terra è di circa (AU = astronomical unit; è la distanza Terra-Sole, ed è un numero da ricordare), mentre la distanza Marte-Giove è di e quella Saturno-Urano di circa .

Proveremo a spiegare (in modo non molto rigoroso) il perchè di questo andamento. Su questo darò altri indizi in seguito, se qualcuno risolve la parte che posto qua, che è un prerequisito necessario.

È evidente che ci serve definire, in qualche modo, una "zona di influenza" di un pianeta, cioè la zona in cui la sua attrazione gravitazionale è importante e gli permette di ripulire l'orbita attirando a sè gli altri corpi minori nelle vicinanze. Un pianeta in orbita di semiasse maggiore avrà una zona di influenza che sta in una fascia centrata in e larga . Provate ad inventare un modo ragionevole per trovare .

Suggerimento.

Approssimiamo l'orbita del pianeta come circolare, con raggio . Mettiamoci nel sistema rotante. Qual è la massima distanza dal pianeta di un corpo che si trova sulla congiungente pianeta-Sole, se vogliamo che tale corpo cada sul pianeta, e non sul Sole? La massa del pianeta è .

Schematizzando un "oggetto" di massa (supponendo così che esso non modifichi in maniera rilevante il campo gravitazionale attorno al pianeta), allineato col pianeta e col sole, la zona di diametro che cerchiamo sarà delimitata da una circonferenza con centro nel pianeta e raggio . Questa zona non è altro che la zona in cui il campo gravitazionale del pianeta è maggiore del campo gravitazionale del sole, quindi per trovare deve essere verificata la condizione dove è il raggio dell'orbita del pianeta. Dato che possiamo supporre . L'equazione ha due soluzioni, considerando come raggio della circonferenza "d'influenza" quella positiva, si ha .

Il problema ora sta nel fatto che le masse di due pianeti sono confrontabili, quindi se entrano nei rispettivi campi di influenza andranno a scontrarsi nel loro centro di massa. Possiamo considerare quindi la zona di influenza tra due pianeti uguale alla somma tra i due "raggi di influenza" e , essi dipendono da dei singoli pianeti, che compare solo al numeratore e che è tanto maggiore quanto più ci si allontana dal sole, perciò anche tale somma (minima distanza tra due pianeti affinché non collassino) sarà maggiore man mano che ci si allontana da esso.

Nota: al numeratore compare una differenza, ma la quantità di sinistra è la radice del quadrato di quella di destra sommato ad una quantità sempre positiva, perciò anche la differenza sarà sempre positiva e maggiore al crescere di .

Edit: il risultato ottenuto è ragionevole tenendo conto del fatto che più si è lontani dal sole, minore è la sua attrazione gravitazionale e di conseguenza quella dei pianeti "si fa sentire" di più.

Epimenide ha scritto: possiamo supporre

Non è corretto, neanche dimensionalmente. Infatti nelle formule seguenti compaiono termini come che non hanno significato. Prova a correggere questa cosa, eri sulla strada giusta.

Ah, vero, accidenti, non avevo tenuto conto... Correggendo risulta che tra l'altro ha anche più senso la relazione è importante per garantire che la quantità tra parentesi sia positiva, le considerazioni che si possono fare su e sui pianeti rimangono quelle che avevo scritto nell'altro post, perché è al numeratore e tutto il resto è costante o quasi, visto che stiamo considerando tra loro le masse dei pianeti come confrontabili. Anche contando masse diverse per qualche ordine di grandezza l'equazione si comporta come ci si aspetta, perché cresce al crescere di . Nel modello reale l'area circolare è probabilmente ovoidale, col semiasse maggiore massimo all'afelio e minimo al perielio, la "punta" dell'ovoide sempre rivolta in direzione del sole e verso uscente ed il pianeta situato vicino la "base".

Non sono però molto d'accordo con il metodo che hai usato per ricavare il raggio dell'area di influenza.

Immaginiamo un corpo che è vicino al pianeta e sente soprattutto la sua influenza. Perchè questo requisito sia soddisfatto, a noi interessa che questo corpo sia costretto a rimanere vicino al pianeta e non possa fuggire ed andare lontano, cadendo magari sul Sole. Quindi il fenomeno va studiato nel sistema di riferimento del pianeta, e non del Sole; non è la stessa cosa, perchè il pianeta ruota attorno al Sole e quindi c'è in più una forza centrifuga.

Volendo fare le cose per bene (e conviene fare così), bisogna mettersi nel sistema di riferimento rotante attorno al centro di massa Sole-pianeta; in questo sistema il Sole ed il pianeta sono entrambi fermi e studiare il moto del terzo corpo risulta più semplice. Prova quindi a ripetere il calcolo in questo sistema e troverai un andamento leggermente diverso.



Per capire bene l'andamento della tua equazione per ora conviene usare l'approssimazione in tutti i casi in cui lo si può fare:

Come risultato è ragionevole, anche se diverso da quello che si ottiene facendo il conto nel sistema di riferimento rotante, che è più corretto.