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Lo strato è uniformemente carico con densità di carica elettrica per unità di volume e lungo l'asse è praticato un foro molto sottile che lo attraversa. Una particella di massa e carica si muove lungo l'asse ; a un dato istante si trova nel punto e si muove con velocità con . Si determini il valore minimo di che consente alla particella di attraversare completamente il foro nello strato.

Il vettore elettrico nei punti interni allo strato non può avere componenti nel piano. Consideriamo un cilindro con asse parallelo o coincidente con l'asse , di base e altezza . Applicando il teorema di Gauss non essendoci flusso laterale è possibile determinare il vettore immediatamente vicino allo strato nei due semispazi, con componente positiva in quello di destra e negativa nell'altro. Sarà
da cui essendo la costante dielettrica del vuoto. Siccome l'altezza del cilindro poteva essere comunque maggiore di , si conclude che il vettore elettrico è di modulo costante e diretto in verso opposto nei due semispazi. Analogamente, considerando gli strati e e applicando due volte il teorema di Guss si determina
. Essendo , si ricava il potenziale per ogni ponendo essendo definito a meno di una costante arbitraria
con . Per si trova.
L'energia cinetica (e quindi la velocità) minima necessaria a farle attraversare il foro è quella uguale a da cui si ricava
.
Dubbi:1) l'assenza di componenti del vettore elettrico; 2) il potenziale elettrico che diventa infinito nei due semispazi 3) in realtà quella velocità minima porta la carica nell'origine con velocità nulla dove sarebbe in equilibrio instabile: quella necessaria all'attraversamento sarebbe superiore di per un infinitesimo che è inferiore a qualsiasi errore sperimentale. Allora si può considerare come minima quella trovata?

Chiamo x la distanza sull'asse delle x dal punto di partenza di m.
1- non ci sono accelerazioni sull'asse y e z(basta vedere la particella dall'esterno su un sistema inerziale)(nota che se non fosse sull'asse ci sarebbero)
2-la particella subisce da a 0 una repulsione che la rallenta,poi che l'accelera.Quindi basta che essa passi il centro ad una velocità maggiore,in modulo,di 0. Tanto poi verrà accelerata.
Se considero la particella in un qualsiasi istante t compreso tra 0 ed il momento in cui arriva in 0,0,0 vedo che essa divide il foro in due parti: una lunga x e l'altra 2a-x.
Chiamo s il raggio di un qualsiasi cilindro con asse coincidente con quello del mio foro.
Considero ora i cilindri di raggio s ed altezza x e 2a-x.
Allora se applico il teorema di Gauss a queste due superfici ho:


Sottraggo :

Dove E_t è il campo totale in fuzione di x. So che la variazione di energia cinetica di un corpo puntiforme è uguale al lavoro compiuto dalla somma delle forze esterne.

Il coseno dell'angolo minimo tra ed il vettore dx è -1.
Quindi :

Omar93 ha scritto:2-la particella subisce da a 0 una repulsione che la rallenta,poi che l'accelera.Quindi basta che essa passi il centro ad una velocità maggiore,in modulo,di 0. Tanto poi verrà accelerata.

Il coseno dell'angolo minimo tra ed il vettore dx è -1.
Quindi :

Il metodo e il risultato mi pare concordino. Però, anche nel tuo caso, non arriva in O con velocità nulla mentre dichiari che dovrebbe averla "maggiore...di 0"?

Spero di aver capito bene quello che chiedi.
Io ho pensato così: prendiamo in considerazione i due insiemi di velocità maggiori di quella trovata e minori. Ora supponiamo di voler cercare il minimo ed il massimo per ciascun insieme: non esiste.
Ma esiste un maggiorante ed un minorante,che è un elemento di separazione per i due insiemi, .

Omar93 ha scritto:Chiamo x la distanza sull'asse delle x dal punto di partenza di m.
1- non ci sono accelerazioni sull'asse y e z(basta vedere la particella dall'esterno su un sistema inerziale)(nota che se non fosse sull'asse ci sarebbero)
2-la particella subisce da a 0 una repulsione che la rallenta,poi che l'accelera.Quindi basta che essa passi il centro ad una velocità maggiore,in modulo,di 0. Tanto poi verrà accelerata.
Se considero la particella in un qualsiasi istante t compreso tra 0 ed il momento in cui arriva in 0,0,0 vedo che essa divide il foro in due parti: una lunga x e l'altra 2a-x.
Chiamo s il raggio di un qualsiasi cilindro con asse coincidente con quello del mio foro.
Considero ora i cilindri di raggio s ed altezza x e 2a-x.
Allora se applico il teorema di Gauss a queste due superfici ho:


Sottraggo :

Dove E_t è il campo totale in fuzione di x. So che la variazione di energia cinetica di un corpo puntiforme è uguale al lavoro compiuto dalla somma delle forze esterne.

Il coseno dell'angolo minimo tra ed il vettore dx è -1.
Quindi :

Ho una domanda omar(o modesto) come avete calcolato le varie intensità di campo in base alla variazione del flusso elettrico?? e perché ci sono 2 flussi??(è per la repulsione e poi l'accelerazione??) inoltre come fate a sapere che prima c'è la repulsione e poi l'accelerazione della particella?