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Siamo nel campo gravitazionale g. Due punti partono dall'origine di un sistema xy con velocità lungo l'asse x con direzioni opposte. Il primo con $v_a$ , l'altro $v_b$ .
Trovare la distanza tra i due punti quando i loro vettori velocità sono perpendicolari tra di loro.

Metto questo esercizio perchè ha un'idea per questo olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=12&t=869 (per il primo punto.)

Riguarda la velocità relativa.

Tale distanza dovrebbe valere

$\frac{\sqrt{v_{a}v_{b}}(v_{a}+v_{b})}{g}$

(ho modificato questo messaggio con il valore corretto per la distanza; avevo sbagliato un segno durante i calcoli)

So che sarebbe meglio scrivere l'intero procedimento (sempre ammesso che sia giusto) ma ora non ho tempo e lo farò appena possibile.

Sulla velocità relativa non mi viene in mente niente, solo che due osservatori solidali con i due punti che cadono vedrebbero ognuno l'altro muoversi di moto rettilineo uniforme con velocità in modulo pari a $\ v_{a}+v_{b}$

Stabilito il sistema di riferimento in cui
$\vec v_{b} (v_{b},0)$ e $\vec v_{a} (-v_{a},0)$
si scrivono le leggi orarie del moto dei due punti lungo x e lungo y

$\ x_{a}=-v_{a}t$
$\ y_{a}=-\frac{1}{2}gt^2$

$\ x_{b}=v_{b}t$
$\ y_{b}=-\frac{1}{2}gt^2$

Si scrivono inoltre le componenti delle velocità lungo x e lungo y in funzione del tempo

$\ v_{ax}=-v_{a}$
$\ v_{ay}=-gt$

$\ v_{bx}=v_{b}$
$\ v_{by}=-gt$

Si può mostare che quando le velocità sono perpendicolari vale
$\frac{|v_{ay}|}{|v_{ax}|}=\frac{|v_{bx}|}{|v_{by}|}$

Dall'uguaglianza si ricava l'istante $\ t_{1}$ in cui i vettori velocità sono tra loro perpendicolari

$\ g^2t_{1}^2=v_{a}v_{b}$
$\ t_{1}=\frac{\sqrt{v_{a}v_{b}}}{g}$

Le coordinate dei due punti individuano la posizione di essi all'istante $\ t_{1}$

$\ x_{a}=-v_{a}\frac{\sqrt{v_{a}v_{b}}}{g}$
$\ y_{a}=-\frac{v_{a}v_{b}}{2g}$

$\ x_{b}=v_{b}\frac{\sqrt{v_{a}v_{b}}}{g}$
$\ y_{b}=-\frac{v_{a}v_{b}}{2g}$

La distanza è facile da calcolare e vale $\frac{\sqrt{v_{a}v_{b}}(v_{a}+v_{b})}{g}$ .

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Punti che scappano

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