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Una particella di massa $\displaystyle M$ e velocità iniziale $\displaystyle V$ urta un'altra particella ferma di massa $\displaystyle m < M$ . Determinate il massimo angolo di deflessione possibile per la prima particella. Si supponga l'urto perfettamente elastico.

Come si puo intuire, l'angolo di deflessione è l'angolo tra la traiettoria iniziale e quella dopo l'urto.

Facciamo riferimento ad un sistema di assi cartesiani $Oxy$ in cui la particella di massa $M$ viaggia con velocità parallela all'asse $x$

Dato che l'urto è perfettamente elastico sono conservate sia la quantità di moto del sistema che l'energia cinetica totale, quindi si ha:

$MV=MV'_{x}+mv_{x}$
$MV'_{y}=mv_{y}$
$\displaystyle \frac{1}{2}MV^2=\frac{1}{2}M\left ({V'_{x}}^2+{V'_{y}}^2 \right )+\frac{1}{2}m\left ({v_{x}}^2+{v_{y}}^2 \right)$

Dove $v_{x}$ , $v_{y}$ , $V'_{x}$ e $V'_{y}$ indicano le componenti della velocità rispettivamente di $m$ e $M$ dopo l'urto.

Da cui sostituendo e indicando con $\displaystyle \mu=\frac{m}{M}$ si ottiene:

$\displaystyle v_x=\frac{V-V'_{x}}{\mu}$

$\displaystyle v_y=\frac{V'_{y}}{\mu}$

$\displastyle V^2= {V'_{x}}^2+{V'_{y}}^2 + \mu \left( \left (\frac{V-V'_{x}}{\mu} \right )^2 + \left( \frac{V'_{y}}{\mu} \right)^2 \right )$

$\displastyle \mu V^2= \mu{V'_{x}}^2+\mu{V'_{y}}^2 + {V'_{x}}^2 - 2V{V'_{x}} + V^2 +{V'_{y}}^2$

Da cui

$\displaystyle (\mu + 1){V'_{y}}^2 = V^2(\mu- 1) - {V'_{x}}^2(\mu+1) + 2V{V'_{x}}$

$\displaystyle (\mu + 1)V'^2 = V^2(\mu- 1) + 2VV'\cos\theta$

$\displaystyle \cos\theta=\frac{(\mu + 1)V'^2 + (1 - \mu)V^2}{2VV'}$

$\displaystyle \theta=\arccos \frac{(\mu + 1)V'^2 + (1 - \mu)V^2}{2VV'}$

...

Occhio che puoi semplificare non poco con: $\displaystyle \cos^2 \theta + \sin ^2 \theta$

Credo manchi soltanto una relazione tra $\displaystyle V'$ e $\displaystyle V$ in modo da poter semplificare tutte le velocità...

Mi correggo: ovviamente sarebbe impossibile semplificare tutte le velocità perchè dopo avremmo $\displaystyle \cos \theta$ determinato..

Pensa infatti a quello che devi trovare, non sei lontano dalla soluzione

E questo?
mica vorremo abbandonarlo no?

Direi

$\sin \alpha = \frac{m}{M}$

Si, anch'io.

@Alex90: Il problema ti chiede di trovare l'angolo massimo. Sei giunto ad un'equazione da cui ricavi $\displaystyle \theta(V')$ e poi trovi il massimo della funzione.

eh lo so ma a scriverla un po' ci vuole quindi adesso se ho tempo cerco di texarla per bene

Riguardo a questo problema ho trovato una simpatica caratteristica, che illustro in figura sottostante.
M e V sono riferite alla massa maggiore; m e v sono riferite alla massa minore urtata dalla precedente.
Detto P il punto in cui avviene l'urto della massa M lanciata a velocità V0 in senso orizzontale (da sinistra a destra nel disegno), il luogo dei possibili estremi del vettore quantità di moto del corpo più pesante dopo l'urto è una circonferenza di raggio $r = \frac{m}{{m + M}}M{V_0}$
Naturalmente qui si vede anche quale può essere l'angolo massimo di deflessione richiesto dal problema, e per calcolarlo basta fermarsi alla geometria senza ricorrere all'analisi matematica.
Equazioni del moto:

$M{V_0} = M{V_x} + m{v_x}$

$m{v_y} = - M{V_y}$

$M{V_0}^2 = M{V_x}^2 + M{V_y}^2 + m{v_x}^2 + m{v_y}^2$

Sviluppando i calcoli e risolvendo per le componenti della quantità di moto della massa minore:

$0 = {\left( {m{v_x}} \right)^2} + {\left( {m{v_y}} \right)^2} - 2\frac{{{V_0}mM}}{{m + M}}\left( {m{v_x}} \right)$

Ricordando l'equazione di un cerchio passante per l'origine e con il centro situato lungo l'asse x:

${x^2} + {y^2} - 2rx=0$

e confrontando con la precedente equazione si ricava

$r = \frac{m}{{m + M}}M{V_0}$

Immagine

Falco5x scrive...

Elegante soluzione che fa trasparire la risposta in modo geometrico e intuitivo.

Trascrivo un altro modo per giungere alla stessa conclusione.
Teorema di Carnot:

$p^2 = p_0^2 + q^2 - 2 \ p_0 \ q \ \cos \theta.$

Conservazione energia cinetica:

$\frac {q^2}{2m}= \frac {p_0^2 - p^2}{2M}.$

Nelle precedenti $p_0$ e p sono le quantità di moto di M prima e dopo l’urto, q è quella di m in seguito all’urto, $\theta$ è l’angolo tra i segmenti $p_0$ e q. Sostituendo la differenza dei quadrati della seconda nella prima, si ha che il diametro della circonferenza è la quantità costante:

$\frac {q}{\cos \theta}= \frac {2 \ m \ p_0}{m+M}.$

In tale circonferenza q è una corda, il diametro si trova su $p_0$ , è inscritto il triangolo rettangolo che ha l’ipotenusa come diametro.

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