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Il fondo di un ampio recipiente riempito di un liquido ideale ha un foro circolare di raggio $R_1$ . Sopra il foro, e coassiale con esso, è montato un cilindro di raggio $R_2 > R_1$ . L'intercapedine tra il cilindro ed il fondo ha un'altezza molto piccola e la densità del liquido vale $\rho$ . Trovare la pressione del liquido nell'intercapedine in funzione della distanza $r$ dall'asse del foro (e del cilindro) se l'altezza del liquido vale $h$ .

Spero che il testo e l'immagine siano comprensibili. È di livello ragionevole per essere un problema degli scritti (o orali) SNS.

Mi sfugge qualcosa. La portata nello strato sotto il cilindro è costante, dunque è costante la velocità. La pressione all'imboccatura del foro è quella atmosferica (c'è aria, vero?), e per Bernoulli non dovrebbe cambiare... Dove sbaglio?

Non è costante la velocità, perchè la sezione su cui passa il fluido, cioè la superficie laterale di un cilindro di raggio r e altezza intercapedine, diventa sempre più piccola. Si può ricavare un'equazione differenziale con la conservazione dell'energia e la portata, e bisogna porre vero l'integrale ad $R_2$ e $R_1$ , punti in cui la pressione è rispettivamente $p_0 +\rho gh$ e $p_0$ . Più tardi magari scrivo la soluzione, ma non sono del tutto sicuro perchè c'è un'approssimazione che ho fatto un po' sopsetta

Nella mia ingenuità ho trovato
$p(r) = p_0 + \rho\,g\,h\,[1-(\frac{R_2}{r})^{2}]$ con $R_1 < r < R_2$
Il punto è che non ho avuto molti integrali da risolvere o equazioni differenziali di cui si parlava prima, per cui deve essermi sfuggito qualcosa...se mi dite cosa mi fate una grande cortesia =D

A me viene un risultato simile (ma non proprio quello!) e non sono passato da equazioni differenziali. Comunque postare la soluzione non sarebbe una cattiva idea...

La pressione calcolata come limite da destra e da sinistra deve essere uguale... Come hai scritto tu non viene bene nelle situazioni al limite.
La velocità al foro per Bernoulli è $V=\sqrt{2gh}$ . Per l'equazione di continuità $v(r)= VR_1/r$
Sono poi indeciso tra due soluzioni
1) Ancora per Bernoulli $p(r)=p_0 + \rho gh - \rho gh (R_1/r)= p_0 + \rho gh(1-R_1/r)$
Questa soluzione più semplice mi lascia perplesso perchè se l'intercapedine è molto piccolo la pressione al fondo, fuori dalla zona coperta dal cilindro, dovrebbe essere sempre $p_0 + \rho gh$ , mentre la soluzione dà un risultato diverso
2) Usiamo la conservazione dell'energia su una "corona cilindrica" che passa sotto al cilindro

$[2\pi (r+dr)^2a p(r+dr)- 2\pi r^2 a p(r)]dr=\frac 1 2 \rho 2\pi r a dr d(v^2)$
Dividendo tutto per dr viene
$\frac {dp(r)}{dr}= -r^{-1}p(r+dr)-\rho 2ghR_1^2r^{-3}$
Se è legittimo approssimare p(r+dr) a p(r) allora la soluzione dell'equazione differenziale è
$p(r)=-\frac 2 3 k\rho gh (R_1/r)^2+c$
Per la ragione della perplessità alla prima soluzione dobbiamo imporre $p(R_2)=p_0 + \rho gh$ e $p(R_1)= p_0$ . Allora poi si trovano le costanti facilmente... Boh
Alla fine così mi viene $p(r)= p_0 + \rho gh \frac {R_2^2}{R_2^2-R_1^2}(1-\frac{R_1^2}{r^2})$

Provo a postare la mia soluzione:

Sia $H$ l'altezza dell'intercapedine.
Sia $A(r) = 2 \pi r H$ l'area a distanza $r$ dall'asse del foro che il liquido attraversa.

Per l'equazione di continuità:
$A(r) v(r) = P (r) = 2\pi H v(r) r$
dove $P (r)$ è la portata ed è uguale per ogni $r$

Dato che $P(r)$ è costante, la derivata prima $P'(r)$ è nulla.

$P'(r) = 2\pi H [v'(r)r + v(r)] = 0$

dove $v'(r)$ è la derivata prima di $v(r)$
segue che:

$v'(r) = -\dfrac{v(r)}{r}$

da cui:

$v(r) = \dfrac {k}{r}$ con $k$ costante.

sia $v_2 = v(R_2)$

applico il principio di Bernoulli a distanza $R_2$ dall'asse.

considero che il fluido, prima di entrare nell'intercapedine sia fermo.

Sia $p_0$ la pressione atmosferica.
sul fluido prima dell'intercapedine agisce soltanto la pressione atmosferica. sul fluido dentro l'intercapedine, a distanza $R_2$ non agisce la pressione atmosferica perciò:

$p_0 + \rho g h = \dfrac{\rho v_2^2}{2}$

da cui $v_2^2 = \dfrac{2(p_0 + \rho g h )}{\rho}$

dato che

$v_2 = \dfrac{k}{R_2}$

$[v(r)]^2 = \dfrac {R_2^2}{r^2} \dfrac{2(p_0 + \rho g h )}{\rho}$

applico ora Bernoulli a distanza $r$ , sempre considerando che il fluido è immobile, prima di entrare nell'intercapedine.
Sia $p(r)$ la pressione a distanza $r$ dall'asse del foro.

$p(r) + \dfrac{\rho [v(r)]^2}{2} = p_0 + \rho g h$

da cui, per $R_1 < r < R_2$ :

$p(r) = (1-\dfrac{R_2^2}{r^2})(p_0 + \rho g h)$

Mi viene un risultato diverso da quello di tutti voi.

Perchè, quando usate Bernoulli, non scrivete esattamente come lo usate facendo per bene i conti? Secondo me avete fatto confusione in qualche modo.

AxxMan ha scritto:1) Ancora per Bernoulli $p(r)=p_0 + \rho gh - \rho gh (R_1/r)= p_0 + \rho gh(1-R_1/r)$

Qui secondo me hai sbagliato qualcosa (probabilmente nella formula di Bernoulli in cui c'è $v^2$ ). A me viene $(R_1/r)^2$ , invece di $(R_1/r)$ .

AxxMan ha scritto: $[2\pi (r+dr)^2a p(r+dr)- 2\pi r^2 a p(r)]dr=\frac 1 2 \rho 2\pi r a dr d(v^2)$

Non si capisce molto bene quello che hai fatto @_@.

AxxMan ha scritto:dobbiamo imporre $p(R_2)=p_0 + \rho gh$ [/tex]

Ma questo vorrebbe dire che $v(R_2) = 0$ , no? E questo non è positivo, perchè vuol dire che nella intercapedine non entra liquido.

andreaandrea ha scritto:considero che il fluido, prima di entrare nell'intercapedine sia fermo.

Come sopra. Questa assunzione a me non sembra corretta.

andreaandrea ha scritto: $p(r) = (1-\dfrac{R_2^2}{r^2})(p_0 + \rho g h)$

A $r = R_1$ sarebbe corretto trovare la pressione atmosferica e non un altro valore.

Pigkappa ha scritto: Qui secondo me hai sbagliato qualcosa (probabilmente nella formula di Bernoulli in cui c'è $v^2$ ). A me viene $(R_1/r)^2$ , invece di $(R_1/r)$ .

Hai ragione, non ho elevato al quadrato

. Quindi su questa ci troviamo

Pigkappa ha scritto:
$[2\pi (r+dr)^2a p(r+dr)- 2\pi r^2 a p(r)]dr=\frac 1 2 \rho 2\pi r a dr d(v^2)$
Non si capisce molto bene quello che hai fatto @_@.

$a$ sarebbe l'altezza dell'intercapedine, ho calcolato il lavoro fatto dalle pressioni

Pigkappa ha scritto:
dobbiamo imporre $p(R_2)=p_0 + \rho gh$ [/tex]
Ma questo vorrebbe dire che $v(R_2) = 0$ , no? E questo non è positivo, perchè vuol dire che nella intercapedine non entra liquido.

Già, ma se io prendo il livello dell'acqua appena sopra l'intercapedine, posso dire che è approssimativamente fermo, in più l'acqua non si muove orizzontalmente, e lì quindi vale stevino... Ma se la pressione è un campo continuo come fa ad essere appena sopra l'intercapedine un valore e appena sotto un altro? Forse non va bene l'approssimazione

Forse ho capito perchè non vale: è vero che il recipiente è molto grande, ma vicino al foro il livello scende più velocemente che in lontananza, perciò lì la velocità non è trascurabile

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Fluidi che si introfulano dove non dovrebbero.

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